Доказать, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2 в n-ой) < 1. Объясните, пожалуйста,...

0 голосов
74 просмотров

Доказать, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2 в n-ой) < 1.

Объясните, пожалуйста, подробно (8 класс).

Математика (4.6k баллов) | 74 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. У нее есть формула для вычисления.

 

S=\frac{b_1}{1-q}\quad(1)

 

Здесь b_1 - первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен 0,5.

 

q - знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В данном случае он равен отношению каждого последующего члена прогрессии к предыдущему члену.

 

q=\frac{b_2}{b_1}

 

q=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}

 

q=\frac{1}{4}*2

 

q=\frac{1}{2}

 

Подставим в формулу (1) все значения.

 

S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}

 

S=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}

 

S=1.

 

В данном случае n - какое-то конечное число, а сумма взята в случае n \to \infty.

 

То есть при любом конечном n, данная сумма всегда будет меньше 1.

(114k баллов)
Похожие задачи