Помогите,пожалуйста!!!!!!!! sin2x+cos(x+pi/4)=-2

Question

Помогите,пожалуйста!!!!!!!!
sin2x+cos(x+pi/4)=-2

Comments

запись может быть прочитана по-разному... или синус в квадрате... или синус от двойного аргумента...

---

как вариант: cos(x+pi/4) = cosx*cos(pi/4) - sinx*sin(pi/4) = (V2 / 2)*(cosx - sinx)

---

но все зависит от первого слагаемого...

---

Дэ, может быть и степень, а не двойной угол. Не раз доставали меня задачки на доказательство равенства, где степень был написан как двойной угол

---

всегда пишу: скобки нужно ставить))) не лениться брать в скобки аргумент всегда...

Answer 1

Sin2x+cos(x+π/4)=-2 ; 
cos(x+π/4) = -3+ (cos²x + sin²x) -sin2x ;
cos(x+π/4) = -3+ (cos²x  -2sinxcosx + sin²x) ;
cos(x+π/4) = -3+ (cosx  - sinx)² ;
* * * cosx -sinx = √2(cosx*1/√2 +sinx*1/√2)=√2(cosx*cosπ/4 +sinx*sinπ/4)  = √2cos(x- π/4) * * *
cos(x+π/4)  =-3 +(√2cos(x- π/4))² ;
2cos²(x- π/4) - cos(x+π/4) -3 =0 ;
 * * * замена  t =cos(x- π/4) ;  -1≤t ≤1   * * *
2t² - t -3=0 ;
t₁=(1 +5)/4 =3/2  >1 не решение исходного уравнения .
t₂=(1 -5)/4 =-1 ⇒cos(x+π/4) =-1⇔x+π/4=π+2πk, k∈Z ⇔x=3π/4+2πk, k∈Z.

ответ:  x=3π/4+2πk, k∈Z .

* * * * * * * 
sin2x+cos(x+pi/4)=-2 ; 
* * * -1≤cos(x+π/4)≤1⇒ -√2≤cos(x+π/4)≤√2  ≈1,41 * **
* * * cos(x+π/4) =cosx*cosπ/4 -sinx*sinπ/4 =(√2/2)*(cosx -sinx) * * *
2sinxcosx +((√2)/2) *(cosx -sinx) = -3 +(cos²x +sin²x)  ;
((√2)/2)*(cosx - sinx) = -3  + (cos²x  - 2sinxcosx +sin²x) ;
((√2)/2)*(cosx - sinx) = -3  + (cosx  - sinx)² 
2(cosx -sinx)² -√2*(cosx - sinx) -6 =0 ; * * * замена  t =cosx -sinx * * *
2t² - √2t -6=0 ;
t₁=(√2 -5√2)/4 = -√2 ;
t₂=(√2 +5√2)/4 =3√2 /2 .
---
а) cosx -sinx= -√2 ⇔√2cos(x+π/4) = -√2⇔cos(x+π/4) = -1 ;
x+π/4=π+2πk, k∈Z .  x=3π/4+2πk, k∈Z .
---
б) cosx -sinx= (3√2)/2 ⇔√2cos(x+π/4) =(3√2)/2 ⇔cos(x+π/4) =3/2 >1
нет корней

Comments

Ого, ну и решение! Познавательно)

---

профессионально!! а мне лениво было рассматривать варианты)))

---

После ответа просто так (показано нерациональное решение)