СРОЧНО! ПРОШУ! Отмечу, как лучший ответ!!!!!

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-16T18:07:36+0000

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sqrt{2} \ ;$

Учтём, что тригонометрические функции периодичны, в том числе, всегда верно, что:

$\sin{a} = \sin{ ( a + 2 \pi ) } = \sin{ ( a - 2 \pi ) } = \sin{ ( a + 4 \pi ) } = \sin{ ( a - 4 \pi ) } \ \ \ \$ и т.д., поскольку период синуса равен $2 \pi \ .$

Поэтому:

$\sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi - 2 \pi) } = \sin{ ( x + ( \frac{3}{2} - 2 ) \pi) } = \\\\ = \sin{ ( x + ( -\frac{1}{2} ) \pi) } = \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } \ ;$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \sqrt{2} \ ;$

$2 \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \sqrt{2} \ ;$

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ;$

далее, два способа:

[[[ 1-ый способ ]]]

$x - \frac{ \pi }{2} = \frac{ \pi }{2} \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

$x = \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{2} \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

$x = \pi \pm \frac{ \pi }{4} + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

$x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

[[[ 2-ой способ ]]]

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } = - \sin{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } = - \cos{x} \ ;$

$\cos{x} = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \ ;$

$x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

О т в е т : $x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ .$

[[[ 3-ий способ ]]]

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = \sqrt{2} \ ;$

Воспользуемся формулой: $\sin{a} + \sin{b} = 2 \sin{ \frac{a+b}{2} } \cos{ \frac{a-b}{2} } \ ;$

$\sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } + \sin{ ( x + \frac{3}{2} \pi ) } = 2 \sin{ \frac{ [ x - \pi/2 ] + [ x + 3\pi/2 ] }{2} } \cos{ \frac{ [ x - \pi/2 ] - [ x + 3\pi/2 ] }{2} } = \\\\ = 2 \sin{ \frac{ 2x + \pi }{2} } \cos{ \frac{ -2\pi }{2} } = 2 \sin{ ( x + \frac{ \pi }{2} ) } \cos{ \pi } = -2 \sin{ ( x - \frac{ \pi }{2} ) } \cdot (-1) = \\\\ = - 2 \sin{ ( \frac{ \pi }{2} - x ) } = - 2 \cos{x} \ ;$

Тогда исходное уравнение можно переписать, как:

$- 2 \cos{x} = \sqrt{2} \ ;$

$\cos{x} = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \ ;$

$x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ ;$

О т в е т : $x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2 \pi n , n \in Z \ .$

.

gartenzie_zn (8.4k баллов) 16 Апр, 18