|x-1|+|x-2| > 3+x
Чтобы решить неравенство, необходимо раскрыть модули.
Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки,в которых подмодульные выражения меняют знак:
x-1=0; x=1
x-2=0; x=2
Нанесем эти значения х на числовую прямую:
___________[1]___________[2]_____________
Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
__________[1]__________[2]_____________
x-1 - + +
x-2 - - +
Раскроем модули на каждом промежутке ( мы можем граничные точки 1 и 2 включать в оба промежутка):
a) x<=1<br>На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:
-(x-1)-(x-2) >3+x
С учетом того, что x<=1, составим систему неравенств:<br>{-(x-1)-(x-2)>3+x
{x<=1<br>Решаем 1-е неравенство:
-x+1-x+2-x>3
-3x>3-1-2
-3x>0
x<0<br>Получаем:
{x<0<br>{x<=1<br>Решением этой системы является промежуток x<0<br>
б) 1<=x<=2<br>На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе - отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй - с противоположным:
(x-1)-(x-2)>3+x
С учетом того,что 1<=x<=2, составим систему неравенств:<br>{(x-1)-(x-2)>3+x
[1<=x<=2<br>Решим 1-е неравенство:
x-1-x+2>3+x
-x>1-2+3
-x>2
x<2<br>Получаем:
{1<=x<=2<br>{x<2<br>Система не имеет решений
в) x>=2
На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны.Поэтому мы их раскроем без смены знака:
(x-1)+(x-2)>3+x
С учетом того, что x>=2, составим систему:
{(x-1)+(x-2)>3+x
[x>=2
Решим 1-е неравенство:
x-1+x-2-x>3
x>3+1+2
x>6
Получаем:
{x>=2
{x>6
Решением этой системы является промежуток: (6;+ беск.)
Объединим два промежутка и получим ответ: x<0; x>6