В параллелограмме АВСД точка Е-Середина стороны СД. Известно,что ЕА=ЕВ.Докажите,что...

Question

В параллелограмме АВСД точка Е-Середина стороны СД. Известно,что ЕА=ЕВ.Докажите,что данный параллелограмм -прямоугольник. Помогите пожалуйста нужно полное решение:*

Answer 1

Параллелограмм АВСД, СЕ=ЕД, АЕ=ВЕ

Проводим ЕН - линия параллельна АД делит АВ на две равные части, АН=ВН=СД=СЕ

треугольник АЕВ равнобедренный, ЕН - медиана, высота , биссектириса

ЕН перпендикулярен АВ . Значит АД и ВС также перпендикулярены

Теорема - если в параллелограмме есть прямой угол, то фигура прямоугольник

Answer 2

Пусть BC=AD=b; AB=CD=a; CE=ED=a/2/. По теореме косинусов имеем:
BE^2=b^2+a^2/4-2*b*a/2*cosC=b^2+a^2/4-b*a*cosC;

AD^2=b^2+a^2/4-2*b*a/2*cosD=b^2+a^2/4-b*a*cosD;
По условию BE=AD. Значит, BE^2=AD^2, т.е.

b^2+a^2/4-b*a*cosC=b^2+a^2/4-b*a*cosD
cosC=cosD, значит C=D и C+D=180 как сумма углов, прилежащих к одной стороне паралл.
Отсюда следует, что C=D=90