Найдём производную заданной функции:
f'(x) = 3x² + 6x.
График производной - парабола ветвями вверх.
Функция возрастает на интервалах, где производная больше нуля, если же значение производной отрицательное, то функция убывает.
Приравняем производную нулю:
3x² + 6x = 0,
3х(х + 2) = 0.
Отсюда имеем 2 корня:
х₁ = 0,
х₂ = -2.
Для параболы - это точки пересечения оси х.
Значит, левее точки х = -2 и правее точки х = 0 функция возрастающая.
При значения х между -2 и 0 функция убывает.
Найденные точки х = -2 и х = 0 это точки экстремума функции.
Исследуем поведение функции вблизи этих точек.
Около х = -2:
х -2,5 -2
-1,5
у 4,125 5 4,375
около х = 0:
х -0,5 0 0,5
у 1,625
1 1,875.
Отсюда видно, что точка х = -2 это максимум функции, а х = 0 это
минимум.
Это же можно определить с помощью производной:
функция имеет минимум, если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с плюса на минус.
Около х = -2:
x -2.5 -2
-1.5
y' 3.75 0 -2.25
около х = 0:
x -0.5 0 0.5
y'
-2.25 0 3.75.
Около х = -2 производная переходит с плюса на минус - это максимум (локальный) функции.
Около х = 0 производная переходит с минуса на плюс - это минимум (локальный) функции.
5) Определяем пределы интегрирования, приравнивая функции:
4х - х² = 4 - х.
Получаем квадратное уравнение:
х² - 5х + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*4=25-4*4=25-16=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√9-(-5))/(2*1)=(3-(-5))/2=(3+5)/2=8/2=4;
x_2=(-√9-(-5))/(2*1)=(-3-(-5))/2=(-3+5)/2=2/2=1.
Площадь равна интегралу от верхней функции минус нижнюю:
S = ∫₁⁴(4x - x² - 4 + x)dx = ∫(-x² + 5x - 4)|₁⁴ = = (8/3) - (-11/6) = 9/2 = 4,5.
