3) Исходное выражение log(3,(3^x-8) = 2 - x равносильно:
3^(2 - x) = 3^x - 8.
Преобразуем левую часть:
3² / 3^x = 3^x - 8.
Приведём к общему знаменателю:
3^2x - 8*3^x - 9 = 0.
Произведём замену 3^x = y.
Получаем квадратное уравнение:
у² - 8у - 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=(-8)^2-4*1*(-9)=64-4*(-9)=64-(-4*9)=64-(-36)=64+36=100;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:y_1=(√100-(-8))/(2*1)=(10-(-8))/2=(10+8)/2=18/2=9;y_2=(-√100-(-8))/(2*1)=(-10-(-8))/2=(-10+8)/2=-2/2=-1.
Второй корень отбрасываем по ОДЗ.
Производим обратную замену 3^x = 9 = 3².
Отсюда ответ: х = 2.
4) log²(0.5,x) + log(0.5,x) - 2 <= 0.<br>Замена log(0.5,x) = у.
Получаем неравенство у² + у - 2 <= 0.<br>График функции f(y) = у² + у - 2 представляет собой параболу.
Значения равные и меньшие 0 находятся в точках пересечения её графика с осью х и ниже.
Находим граничные значения, приравняв функцию 0:
у² + у - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:y_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;y_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.
По этим точкам производим обратную замену:
log(0.5,x) = 1
х = 0,5.
log(0.5,x) = -2
х = 0.5^(-2) = 4.
Ответ: 0,5 ≤ х ≤ 4.