4х - двойной угол для 2х. Применим формулу косинуса двойного угла через косинус.
cos2α = 2cos²α-1 . В нашем случае будет cos 4x = 2cos²2x-1.
cos2x*( 2cos²2x-1) +1 = 0
Заменим косинус на новую переменную.
cos2x=t
t(2t²-1)+1=0
2t³ - t + 1 = 0 Корень уравнения t =-1, проверкой убеждаемся.
Теперь делим "уголком" ( 2t³-t + 1) / ( t+1 ) =2t²-2t+1
Получаем совокупность двух уравнений
t+1 = 0 или 2t² - 2t 1 =0
t =-1 А здесь корней нет.
cos2x = -1
2x =π + 2πn, n∈Z
x =π/2 + πn, n∈Z - это ответ.