Я так- галопом :))) если покажется, что я сразу ответ написал - разбирайтесь, все пункты РЕШЕНЫ (просто "для учителя" надо записать это решение "как надо")
1.
Ф1 + Ф2 = 180;
Ф1/Ф2 = 7/8;
Пусть Ф1 = 7*х; Ф2 = 8*x; тогда 15*x = 180, x = 12; но х = Ф2 - Ф1.
2.
Высота к основанию делит треугольник на два Пифагоровых (8,15,17) (разберитесь! Пифагоров треугольник - это ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК с целыми длинами сторон, вроде 3,4,5 или 5,12,13. А почему он - прямоугольный?)
3.
Диагонали делят ромб на 4 Пифагоровых треугольника (7,24,25).
То есть сторона ромба 25, а площадь 14*48/2 = 336
4.
Радиус окружности равен высоте правильного треугольника со стороной 12, то есть
r = 12*√3/2 = 6*√3; S = π*r^2 = 108*π
5.
Тут-то что не понятно? 30 - 16 = 14; 30 + 16 = 46; второй класс начальной школы.
6.
Если описать вокруг любого правильного многоугольника окружность, то очень просто доказать, что центральный угол, соответствующий стороне, равен внешнему углу при вершине (я вообще-то не обязан это тут писать, но - мало-ли, вдруг "станет понятно" :) докажите это).
180 - 135 = 45; n = 360/45 = 8;
7.
По теореме косинусов (BC = x)
7^2 = 8^2 + x^2 - 2*x*8*(1/2); x^2 - 8*x + 15 = 0; (x - 3)*(x - 5) = 0;
8.
Условие неверное, надо добавить "проведенные из одной точки".
Диаметр 6*2 = 12, хорда 12*cos(30) = 6*√3
9. и 11.
Треугольник со сторонами 13,14,15 "составлен" из двух Пифагоровых (5,12,13) и (9,12,15), так, что катеты 5 и 9 вместе образуют сторону 14. Поэтому высота к стороне 14 равна 12 (в условиях это не спрашивается, ну и ладно), и косинусы углов при стороне 14 равны 5/13 и 9/15 = 3/5
10.
Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных (и - между собой, конечно). Поэтому
h/8 = 18/h; h^2 = 8*18; h = 12;
c = 8 + 18 = 26;
S = c*h/2 = 26*12/2 = 156. На вложенном рисунке дан вдвое больший ответ.
Примечание :)
При оформлении решений "в тетрадь" надо заменить ссылки на Пифагоровы треугольники "обычными" рассужденими. Например, в пункте 2. следует писать так
"проведем высоту к основанию, которая делит его пополам, поскольку треугольник равнобедренный. В одном из получившихся прямоугольных треугольников гипотенуза 17, катет 16/2 = 8, поэтому второй катет h^2 = 17^2 - 8^2 = 225; h = 15;"
Для пунктов 9, 11 этот момент не так-то и прост.
Надо провести высоту к стороне 14. Далее есть два пути нахождения этой высоты и отрезков, на которые она делит сторону 14.
а. тупой - по формуле Герона площадь треугольника равна 84, откуда высота 12. Дальше из прямоугольных треугольников находятся отрезки по теореме Пифагора.
б. немного более умный - сразу надо записать теоремы Пифагора для обеих прямоугольных треугольников, на которые высота делит весь треугольник. Если обозначить их x и y, то
x^2 + h^2 = 13^2;
y^2 + h^2 = 15^2;
x + y = 14;
Решаете, получаете x = 5; y = 9; h = 12.