Задача ** геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из...

Question

106 просмотров

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго
треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Алгебра BJIADA_zn (17.7k баллов) 17 Апр, 18 | 106 просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Обозначения:
$a_i$ - сторона i-ого треугольника
$h_i$ - высота i-ого треугольника
$P_i$ - периметр i-ого треугольника

Перметр равностороннего треугольника определяется по формуле $P_i=3a_i$ , значит если стороны заданных треугольников образую геометрическую прогрессию, то и их периметры также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a_1=8sm$ . Так как треугольник равносторонний, то все его высоты равны. Найдем длину одной из них. Высота является противолежащим катетом для угла равностороннего треугольника 60 градусов, гипотенузой в таком прямоугольном треугольнике является сторона равностороннего треугольника:
$\sin 60^0= \frac{h_1}{a_1} \\\ h_1=a_1\sin60^0=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$
Так как высота треугольника есть длина стороны следующего треугольника, т.е. $h_1=a_2$ , то:
$a_2=a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Вывод: длина стороны следующего треугольника есть длина стороны предыдущего треугольника, умноженная на множитель $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ (для геометрической прогрессии он и будет являться знаменателем).
Рассуждая аналогично:
$a_3=h_2=a_2\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =a_1\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=a_1\cdot (\frac{ \sqrt{3} }{2})^2 \\\ a_4=h_3=...=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^3 \\\ ... \\\ a_n=h_{n-1}=a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$

Стороны образую геометрическую прогрессию, значит и ихпериметры такжеобразуют геометрическую прогрессию:
$P_n=3a_n=3a_1\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$
Можно подставить длину стороны исходного треугольника:
$P_n=3\cdot8\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$
$P_n=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{n-1}$ - общая формула n-ого члена

Для n=6:
$P_6=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^{6-1}=24\cdot(\frac{ \sqrt{3} }{2})^5=24\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{32}=3\cdot\frac{9 \sqrt{3} }{4}=\frac{27 \sqrt{3} }{4}(sm)$

Artem112_zn (270k баллов) 17 Апр, 18

xxxeol_zn · Answer 1 · 2018-04-16T22:41:41+0000

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле
h = a(n+1) = a*(√3/2)^n
1) Периметр также образует геометрическую прогрессию, так стороны треугольника образуют геом. прогрессию
2) Вычисляем стороны треугольников
А(1) =А, А(6)= а* √3)^5 /2^5 = 9/32*√3
и периметр Р=3*А(6) = 27/32 * √3