В трапеции ABCD длины оснований относятся как 3:1 ,а диагонали пересекаются в точке...

Question

В трапеции ABCD длины оснований относятся как 3:1 ,а диагонали пересекаются в точке О.Найти площадь трапеции,если площадь треугольника BOC=1

Comments

А знаете, площадь трапеции равна площади треугольника, подобного BOC, но стороны его равны целым диагоналям и сумме оснований. В данном случае его площадь 16. А почему? :)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Трпапеция АВСD. Пусть ВС=1 , AD = 3. АО ∩ BD = O. , S(BOC)=1/
Проведём через точку О  высоту трапеции  КЕ.  КЕ⊥ВС ⇒ КЕ ∩ ВС= К  и  КЕ ∩ AD = E.
ΔВОС.  ОК - высота этого треугольника .S(DOC)=1/2 BC·OK ⇒ OK=2·S(DOC)/BC=2·1/1=2.   Итак,  ОК = 2
ΔВОК ∞ ΔАОЕ ⇒ АЕ/ВК=ОЕ/ОК ⇒ ОЕ=ОК·(АЕ/ВК)  ⇒ ОЕ= 2·(1,5/1)=6
АЕ= h = 2+6=8  ⇒  Высота трапеции h = 8.
S =1/2·(BC+AD)·h =  1/2·(1+3)·8=1/2·4·8=16
                                                                                 Ответ :  16

Comments

Удивительно :(((( Вот решение без единой "формулы". Через точку C проведится CE II BD, точка E лежит на продолжении AD. DE = BC => AE = AD + BC и площадь ACE очевидно равна площади трапеции. Заметьте, пока я еще ничего не сделал, по сути :)

---

Тр-к ACE подобен тр-ку BOC (даже ссылаться не буду ни на что :) ), и его стороны в 4 раза больше, так как BO = BD/4; поэтому площадь 16. это все

---

Ну, теоретически возможно, что BO = (3/4)*BD; тогда площадь 16/9