Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите...

Внешние углы В и В1 опираются на диаметр => В=В1=90
В треугольнике АВА1 ВС-высота(АС перпендикулярна ВВ1 по условию) проведенная из прямого угла есть среднее пропорциональное для отрезков гипотенузы =>

$BC=\sqrt{AC*A_{1}C}=4\sqrt{2}$

Теперь докажем, что ВВ1=2ВС
Для этого рассмотрим треугольник ВОВ1 (О-центр окружности)
он равнобедренный (т к ВО=r=В1О) => Высота ОС проведенная к основанию является медианой =>ВС=В1С, ВВ1=ВС+В1С=2ВС=8 корней из двух

Ответ: $8\sqrt{2}$