1.Лета в древнегреческой мифологии - река, отделяющая царство мертвых от царства живых. Кануть в Лету - значит, поэтому, пропасть.
2. Первоначально это выражение имело раздельное написание: «попасть в просак». А у самого слово «просак» было самое прямое, конкретное значение. Так называли станок для производства канатов и веревок. Он имел сложное устройство, в системе натянутых веревок было легко запутаться, и человек, попавший в такой просак, вынужден был приложить немало усилий, чтобы выбраться из него. Кроме того, попадание в переплетение веревок просака грозило работнику немалой опасностью: если в станок попадала рука, борода, край одежды, можно было получить серьезное увечье или даже погибнуть.
Постепенно просак, как и множество других устаревших механизмов, вышел из употребления, был заменен другим, более совершенным оборудованием, а выражение осталось, приобретя слитное написание: «попасть впросак».
3. Многие фразеологизмы возникли в результате наблюдения человека за живой природой. Рассматриваемое выражение – как раз из таких. Когда зверь чем-то обеспокоен, его что-то тревожит или слышатся разные подозрительные звуки, то он поворачивает ушки к предполагаемому источнику шума и старается уловить, что там. Органы слуха, до того незадействованные, становятся «острыми», напрягаются.
4. Когда-то данное выражение употреблялось как словосочетание, в котором каждое слово несло лексическую нагрузку, – в строительном деле. В древние времена, утверждают специалисты, самым сложным процессом в строительстве зданий была подгонка углов. Камни, образовывавшие углы строений, и называли тогда краеугольными. В наши дни это словосочетание часто употребляется в значении первый камень в строительстве чего-либо, закладка которого зачастую проходит в торжественной обстановке.
5. На Руси раньше распространены были длинные рукава, которые засучивались перед работой (отсюда засучив рукава – усердно приняться за дело), а после работы опускались, чтобы согреть руки. Спущенные рукава мешали работе. Отсюда и возникла поговорка: работать спустя рукава – значит "работать небрежно, неохотно, лениво".