Исследование с рассуждениями проведём по плану.
Нам потребуется координатная плоскость примерно +/- 3 по оси Х и от -2 до 10 по оси У
1. Область определения.
На вид никаких ограничений на аргумент Х - нет.
Нет деления на ноль и нет неопределенности типа 0/0.
Х⊂ (-∞;+∞) или Х ⊂ R - все числа без исключения.
2. Точки пересечения с осями.
Подставим значение Х=0 и вычисляем
Y(0) = 0 - или при Х=0 Y=0 - одна точка пересечения - начало координат.
Отмечаем точку пересечения на координатной плоскости.
3. Исследовать на четность и нечетность.
Видим, что все степени при аргументе - четные (это 4 и 2) - значит и функция тоже четная. Но, по определению четной функции - У(-х) = У(+Х)
Вычисляем - У(-2) = У(+2) = 8.
Значения равны - функция четная.
Отмечаем на координатной плоскости две точки А(-2;8) и В(2;8).
4. Интервалы знака-постоянства - всегда положительна
5. Периодичность - нет периода. Обычно это у тригонометрических функций.
6. Исследование на экстремумы.
Для этого необходимо проанализировать первую производную функции.
Где она отрицательна - функция убывает, где положительна - возрастает, где равна 0 - точка экстремума. Вычисляем первую производную функции.
Y' (x) = 4*(1/4)*x³ + 2*x = x³+2x = x*(x²+1) =0
Анализируем -
а) равна 0 при Х=0 - точка экстремума
б) Y' (-1) = - 3 - отрицательна - "наша" - Y - убывает - отмечаем на графике, но "в уме"
в) Y'(+1) = 3 - положительна - "наша" - возрастает - отмечаем .
Делаем вывод, что в точке Х=0 - минимум.
Значение в точке экстремума равно
Ymin = Y(0) = 0; - точка уже отмечена на плоскости.
7. Исследование на монотонность или выпуклость- вогнутость.
Где она равна 0. там точка перегиба . Где отрицательна - выпуклая, где положительная - вогнутая.
Для этого потребуется вторая производная функции.
Y'(x) =3*x² + 2 - всегда положительна - "наша" Y-функция - всегда вогнутая.
8. Вычисляем дополнительные точки для построения графика
Y(1) = Y(-1) = 1 - ставим на графике.
Y(1/2) = Y(-1.2) = 0.2656 ~ 0.25 = 1/4 - строим еще две точки.
И соединяем плавной-плавной, но кривой линией все точки.
Получили график, который можно сравнить с таким же графиком, построенным на компьютере..
Исследование функции закончено.
