11.8) а) √(x + 1) < x - 1
Область определения: x >= -1
Корень арифметический, то есть неотрицательный
√(x + 1) >= 0
При x ∈ [-1; 0) справа число отрицательное, поэтому решений нет.
При x > 0
x + 1 < (x - 1)^2
x + 1 < x^2 - 2x + 1
x^2 - 3x = x(x - 3) > 0
x < 0 U x > 3
Но мы уже знаем, что при x < 0 решений нет, поэтому
x > 3
б) √(x + 1) < x + 1
Область определения: x >= -1
Корень арифметический, то есть неотрицательный
√(x + 1) >= 0
При x >= -1 справа число неотрицательное, все нормально.
x + 1 < (x + 1)^2
x + 1 < x^2 + 2x + 1
x^2 + x = x(x + 1) > 0
x < -1 U x > 0
Но при x < -1 решений нет, поэтому
x > 0
11.9. а) √(x + 1) > x - 1
Область определения: x >= -1
Корень арифметический, то есть неотрицательный
√(x + 1) >= 0
При x ∈ [-1; 1) справа число отрицательное, поэтому решения
x ∈ [-1; 1)
При x = 1 слева √2, а справа 0, значит, 1 - тоже решение.
x ∈ [-1; 1]
При x > 1
x + 1 > (x - 1)^2
x + 1 > x^2 - 2x + 1
x^2 - 3x = x(x - 3) < 0
x ∈ (0; 3)
Но по условию x > 1, поэтому
x ∈ (1; 3)
Ответ: x ∈ [-1; 3)
б) √(2x + 1) > x - 1
Область определения: x >= -1/2
Корень арифметический, то есть неотрицательный
√(2x + 1) >= 0
При x ∈ [-1/2; 1) справа число отрицательное, поэтому решения
x ∈ [-1/2; 1)
При x = 1 слева √3, а справа 0, значит, 1 - тоже решение.
x ∈ [-1/2; 1]
При x > 1
2x + 1 > (x - 1)^2
2x + 1 > x^2 - 2x + 1
x^2 - 4x = x(x - 4) < 0
x ∈ (0; 4)
Но по условию x > 1, поэтому
x ∈ (1; 4)
Ответ: x ∈ [-1/2; 4)