5 sin² x+3 sin x cos x - 3 cos² x= 2

0 голосов
107 просмотров

5 sin² x+3 sin x cos x - 3 cos² x= 2


Математика (12 баллов) | 107 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Обе части уравнения делим на косинус в квадрате. Отношение синуса к косинусу равно тангенсу, а дробь единица деленная на косинус в квадрате равна сумме тангенса в квадрате и единицы. Получаем:
5 tg^{2}x+3tgx-3=2( tg^{2}x+1)
раскрываем скобки, приводим подобные:
3 tg^{2}x+3tgx-5=0,
сделаем замену: tg x = y.
3 y^{2}+3y-5=0.
Решаем через дискриминант: Д=9+60=69 - два корня.
y_{1} = \frac{-3- \sqrt{69} }{6},
y_{2} = \frac{-3+ \sqrt{69} }{6}.
Найдем теперь х:
tg x_{1}=y_{1} = \frac{-3- \sqrt{69} }{6}
x_{1} =arctg(\frac{-3- \sqrt{69} }{6})+ \pi n., n ∈ Z
tg x_{2}=y_{2} = \frac{-3+\sqrt{69} }{6}
x_{2}=arctg( \frac{-3+\sqrt{69} }{6} )+ \pi n, n ∈ Z

(918 баллов)