пример с интегралом scos(lnx)=?

Здесь нет дифференциала. А в зависимости от того, какой записан дифференциал, решается пример. Может быть так было:

∫ cos(lnx)*d(lnx)=∫cost*dt=sint+C=sin(lnx)+C

Причем дифференциал логарифма мог быть записан и не в компактном виде, а так

d(lnx)=dx/x