Решите, пожалуйста. ПС. не знаете правильного решения, не пишите ничего

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Задания даны без начальных условий. А значит, получить конкретные решения дифференциальных уравнений – невозможно.

Если не понятно, что такое начальные условия, поясню.

Например, есть дифференциальное уравнение:

$y'' + \pi^2 y = 0 \$      с начальными условиями     $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \$

Очевидно, множество решений такого дифференциального уравнения, это:

$y = C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \ ,$

где $C_o$ и $C_1$ – какие-то неопределённые коэффициенты, которые можно определить через начальные условия.

Во-первых, убедимся,
что общее решение     $y = C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \$      – вообще верно.

$y'_x = - C_o \pi \sin{ ( \pi x + C_1 ) } \ ;$

$y''_x = - C_o \pi^2 \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \ ;$

$y'' + \pi^2 y = - C_o \pi^2 \cos{ ( \pi x + C_1 ) } + \pi^2 C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } = 0 \ ;$

итак, общее решение действительно верно.

Найдём конкретное решение,
подставив вместо $x$ и $y$ – начальные условия $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \ :$

$5 = C_o \cos{ ( \pi + C_1 ) } = C_o \cos{ ( - \pi + C_1 ) } \ ,$

поскольку косинус – чётная функция, то $C_1 = 0 \ ,$ и тогда:

$5 = C_o \cos{ \pi } \ ,$     откуда:    $C_o = \frac{5}{ \cos{ \pi } } = \frac{5}{ -1 } = -5 \ ;$

Окончательно, конкретное решение дифференциального уравнения $y'' + \pi^2 y = 0 \$     с данными начальными условиями    $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \ :$

$y = - 5 \cos{ \pi x } \ .$

Теперь о ваших задачах.

З А Д А Ч А . № . 1

$( 3 + e^x ) y dy = e^x dx \ ;$

Как и всегда, перетаскиваем всё в одну сторону:

$y dy = \frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } \ ;$

Интегрируем:

$\int{y} \, dy = \int \frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } \ ;$

$\frac{y^2}{2} + C = \int \frac{ d( e^x + 3 ) }{ e^x + 3 } \ ;$

$y^2 = 2 \ln{ ( e^x + 3 ) } + C \ ;$

$y = \pm \sqrt{ 2 \ln{ \frac{ e^x + 3 }{K} } } \ ;$

Более точное решение этого дифференциального уравнения (как и любого другого) может быть дано только при наличии начальных условий.

З А Д А Ч А . № . 2

$y' = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$

$\frac{dy}{dx} = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$

$( 2x - y )dy = ( x + 2y )dx \ ;$

Переходим к уравнению с компонентом однородного     $\frac{y}{x} \ :$

$( 2x - y ) \cdot d ( \frac{y}{x} \cdot x ) = ( x + 2y )dx \ ; \ \ \ \ || : x \ ;$

$( 2 - \frac{y}{x} ) \cdot d ( \frac{y}{x} \cdot x ) = ( 1 + 2 \frac{y}{x} )dx \ ;$

Раскрываем составной дифференциал     $d ( \frac{y}{x} \cdot x )$

через общее правило $d z t = z dt + t dz \ :$

$( 2 - \frac{y}{x} ) ( \frac{y}{x} dx + x d ( \frac{y}{x} ) ) = ( 1 + 2 \frac{y}{x} )dx \ ;$

$2 \frac{y}{x} dx + 2 x d ( \frac{y}{x} ) - ( \frac{y}{x} )^2 dx - \frac{y}{x} \cdot x d ( \frac{y}{x} ) = dx + 2 \frac{y}{x} dx \ ;$

$2 x d ( \frac{y}{x} ) - \frac{y}{x} \cdot x d ( \frac{y}{x} ) = dx + ( \frac{y}{x} )^2 dx \ ;$

$x ( 2 - \frac{y}{x} ) d ( \frac{y}{x} ) = ( 1 + ( \frac{y}{x} )^2 ) dx \ ;$

$\frac{ 2 - y/x }{ 1 + ( y/x )^2 } d ( \frac{y}{x} ) = \frac{dx}{x} \ ;$

Переменные разделены на основную и однородную. Теперь интегрируем:

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%7B+%5Cfrac%7B+2+-+y%2F

gartenzie_zn (8.4k баллов) 17 Апр, 18