В треугольнике АВС даны уравнения: высоты AN : x-2y+7=0 , высоты BM : 9x-4y-11=0 и...

Question 1

В треугольнике АВС даны уравнения: высоты AN : x-2y+7=0 , высоты BM : 9x-4y-11=0 и стороны AB : x-3y+9=0 . Составить уравнение третьей высоты.

Question 2

Пусть уравнение высоты CH: y=kx+b
1) Т.к. высота СН перпендикулярна стороне АВ, то их угловые коэффициенты при умножении должны давать (-1):
AB: $x-3y+9=0$ => $y= \frac{x+9}{3}= \frac{1}{3}x+3$
$\frac{1}{3}*k=-1$ => k=-3
CH: y=-3x+b
2) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит:
AN: $x-2y+7=0$ => $y= \frac{x+7}{2}$
BM: $9x-4y-11=0$ => $y= \frac{9x-11}{4}$
CH: y=-3x+b
$\frac{x+7}{2}=-3x+b$ => $b= \frac{7x+7}{2}$
$y= \frac{9x-11}{4}=-3x+b$ => $b= \frac{21x-11}{4}$
$\frac{7x+7}{2}=\frac{21x-11}{4}$
$21x-11=14x+14$
$7x=25$
$b=\frac{25+7}{2}=16$

Следовательно, уравнение третьей высоты CH:
y=-3x+16

kalbim_zn · Answer 1 · 2018-04-17T17:55:26+0000

Пусть уравнение высоты CH: y=kx+b
1) Т.к. высота СН перпендикулярна стороне АВ, то их угловые коэффициенты при умножении должны давать (-1):
AB: $x-3y+9=0$ => $y= \frac{x+9}{3}= \frac{1}{3}x+3$
$\frac{1}{3}*k=-1$ => k=-3
CH: y=-3x+b
2) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит:
AN: $x-2y+7=0$ => $y= \frac{x+7}{2}$
BM: $9x-4y-11=0$ => $y= \frac{9x-11}{4}$
CH: y=-3x+b
$\frac{x+7}{2}=-3x+b$ => $b= \frac{7x+7}{2}$
$y= \frac{9x-11}{4}=-3x+b$ => $b= \frac{21x-11}{4}$
$\frac{7x+7}{2}=\frac{21x-11}{4}$
$21x-11=14x+14$
$7x=25$
$b=\frac{25+7}{2}=16$

Следовательно, уравнение третьей высоты CH:
y=-3x+16