Задача такая (фото):

Question

Дан 1 ответ

fasalv_zn · Answer 1 · 2018-04-17T18:48:34+0000

$a) 5^{\sin^2x}=\sqrt5=5^{\frac{1}{2}}\\\sin^2x=\frac{1}{2}\\\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\\x = \frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{2}k$
Т.к. решениями являются точки, отстоящие на π / 2 друг от друга.

Замена: t = x / (x - 1)
$\sqrt t-3\sqrt\frac{1}{t}=\frac{1}{2}\\z = \sqrt{t}\geq0\\z-\frac{3}{z}=\frac{1}{2}\\ \frac{2z^2-6-z}{2z}=0\\ z = -\frac{3}{2}-false\\ z=2\Rightarrow\sqrt t = 2\Rightarrow t = 4\Rightarrow\frac{x}{x-1}=4\\ \frac{x-4x+4}{x}=0\\\frac{4-3x}{x}=0\\x=\frac{4}{3}$

2) Функция f = (1 / 2)^x = 2^(-x) убывает на всей области определения (убывающая экспонента), но всегда больше 0. g = -2 / x располагается во 2 и 4 четвертях (растёт от о до +∞ во второй и растёт от -∞ до 0 в 4). Т.е. функции g и f имеют ровно одну общую точку во второй четверти, которую находим подбором: x = -1.

$3)2x^3+5x^2+x-2=0.$
Корень x = -1 находится подбором.
$2x^3+5x^2+x-2=(x-1)(2x^2+3x-2)=0\\$ Решаем квадратное уравнение, как обычно. Получаем корни:
-1, -2, 1/2.

$\log_{3x+1}(x+3)-\log_{x+3}(3x^2+10x+3)=-1\\ \log_{3x+1}(x+3)+1=\log_{x+3}((3x+1)(x+3))\\ 3x^2+10x+3\ \textgreater \ 0\\x\epsilon(-\infty;-3)\bigcup(-\frac{1}{3};+\infty)\\ \log_{3x+1}(x+3)(3x+1)=\log_{x+3}((3x+1)(x+3))\\ \frac{\ln(x+3)(3x+1)}{\ln(3x+1)}=\frac{\ln(3x+1)(x+3)}{\ln(x+3)}\\ \ln^2(x+3)+\ln(3x+1)\ln(x+3)=\ln^2(3x+1)+\ln(x+3)\ln(3x+1)\\ \ln^2(x+3)-\ln^2(3x+1)=0\\ (\ln(x+3)-\ln(3x+1))(\ln(x+3)+\ln(3x+1))=0\\ \left[\begin{array}{c}\ln(x+3)=\ln(3x+1)\\\ln(x+3)+\ln(3x+1)=0\end{array}\right\\$
$\left[\begin{array}{c}x=1\\\ln(x+3)(3x+1)=\ln1\end{array}\right\\ \left[\begin{array}{c}x=1\\(x+3)(3x+1)=1\end{array}\right\\ \left[\begin{array}{c}x=1\\x=-\frac{5}{3}\pm\frac{\sqrt{19}}{3}\end{array}\right\\$
По области определения получаем, что от "плюс-минус" остаётся только "плюс":
$\left[\begin{array}{c}x=1\\x=-\frac{5}{3}+\frac{\sqrt{19}}{3}\end{array}\right]$