радиус сечения шара образует с проведенным в его конец радиусом шара угол в 60 градусов ....

Соединим центр шара О с центром сечения В. Треугольник ОВА - прямугольный, так как ОВ перпендикулярно ВА (Теорема 20.3. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость).
Угол ВОА равен 90 - 60 = 30 градусов.
Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, значит $AB = \frac{1}{2}OA$
то есть $r = \frac{1}{2}R$
Площадь сечения $S = \pi *r^2 = \pi*\frac{1}{4}*R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2$