Решить уравнение: !!!! Внимание !!!! Аккаунты пользователей, публикующих "спам" или...

Question

Решить уравнение:







!!!! Внимание !!!! Аккаунты пользователей, публикующих "спам" или "ответы не в тему" в моих заданиях – подвергаются жёсткой проверке, чистке, и, в конечном счёте, я стараюсь добиваться удаления таких аккаунтов.

Прошу никого не беспокоиться. Спамом традиционно считаются ответы типа "ааааа" или "фывлдорп" и т.п. "Ответами не в тему" традиционно считаются копипасты из других задач по математике или другим предметам и т.п. Думающего человека никогда не спутаешь со спамером.

Так что все творческие люди – Welcome!

Answer 1

Нашел решение!
√(7sin x) + √(7cos x) = √17
Возводим в квадрат
7sin x + 7cos x + 2√(7sin x*7cos x) = 17
14√(sin x*cos x) = 17 - 7sin x - 7cos x

Снова возводим в квадрат
196*sin x*cos x =
= 289 + 49sin^2 x + 49cos^2 x - 238sin x - 238cos x + 98sin x*cos x
Упрощаем
(196 - 98)*sin x*cos x = 289 + 49 - 238sin x - 238cos x
98*sin x*cos x + 238sin x + 238cos x = 338
49 + 2*49*sin x*cos x + 238(sin x + cos x) = 338 + 49

Выделяем полный квадрат
49*(sin^2 x + cos^2 x + 2sin x*cos x) + 238(sin x + cos x) = 387
49(sin x + cos x)^2 + 238(sin x + cos x) - 387 = 0
Замена sin x + cos x = y.
49y^2 + 238y - 387 = 0

Свели к квадратному уравнению
D/4 = 119^2 + 49*387 = 33124 = 182^2
y1 = (-119 - 182)/49 = -301/49 = -43/7 < -6
y2 = (-119 + 182)/49 = 63/49 = 9/7

Обратная замена
y = sin x + cos x = √2*sin(pi/4 + x) ∈ (-√2; √2) при любом x.
1) √2*sin(pi/4 + x) = -43/7 - решений нет
2) √2*sin(pi/4 + x) = 9/7
sin(pi/4 + x) = 9/(7√2) = 9√2/14

pi/4 + x1 = arcsin(9√2/14) + 2pi*k
x1 = arcsin(9√2/14) - pi/4 + 2pi*k

pi/4 + x2 = pi - arcsin(9√2/14) + 2pi*k
x2 = 3pi/4 - arcsin(9√2/14) + 2pi*k

Comments

В бауманском лицее такими штуками 10-классников мучают. Их много модно понапридумывать и с плючами и с минусами. http://u.to/daJWDg

---

Действительно, не всякий разберется. получается кубическое уравнение x^3 - 6x - 180 = 0, а у него один корень 6

---

Я это решаю через куб суммы. x = a + b; x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

---

x^3 = 90 + 34sqrt(7) + 90 - 34sqrt(7) + 3sqrt[3](90^2 - 34^2*7)*x

---

Если сократить, то и получится x^3 = 180 + 3sqrt[3](8)*x = 180 + 6x

---

Кстати, мы такое в обычной школе в 10 классе решали, 1984 год.

---

Да, да, по следствию из теоремы Безу о рациональных корнях. Должен быть 180.

---

Да. Раньше решали. Сейчас в профильных классах тоже начинают решать. Хорошо, что разделили классы на доюровольные группы по базе и профилю в математике. Хотя многие были против.

---

Меня уже предупреждали о возможности бана за flood в обсуждениях задач, так что я, пожалуй, остановлюсь :–). Спасибо ещё раз за решение. Пусть будет!

---

Должен быть "кратен" 180. Простите :–). Удачи!