2) помогите, пожалуйста

Question

Дано ответов: 2

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-17T19:28:00+0000

* ДЛЯ ИНТЕРЕСУЮЩИХСЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ

** Самое решение через граничные условия размещено на изображении.

Строго говоря, с точки зрения высшей математики, приведённое в пункте 2) куб-радикальное уравнение не имеет решений, что мы подробно обсудили с Владимиром Б. Так, если это уравнение решать в известной математической системе Wolfram, то система сообщит, что «решений нет».
[ u . to / eL4zDg ] (ссылка, уберите пробелы) . Выясним, почему это так.

В школьной математике мы вводим такое понятие, как «арифметический квадратный корень». Это ОДНОЗНАЧНАЯ арифметическая операция, приводящая к одному числу. Так, например:

0 " alt=" \sqrt{4} = 2 > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> ,

и 0 " alt=" \sqrt{5} = \sqrt{5} > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> .

В высшей алгебре используется понятие «алгебраический квадратный корень». Это НЕОДНОЗНАЧНОЕ, а именно ДВУХЗНАЧНОЕ действие, приводящее сразу к МНОЖЕСТВУ, т.е. к ПАРЕ значений, так что:

$\sqrt[2]{4} = \pm 2$ ,

и $\sqrt[2]{5} = \pm \sqrt{5}$ (во втором случае множество значений алгебраического корня выражено через арифметический корень).

Аналогично, в школьной математике умалчивается, что кубический корень – это НЕОДНОЗНАЧНОЕ, а именно ТРЁХЗНАЧНОЕ действие, приводящее сразу к МНОЖЕСТВУ, т.е. к ТРОЙКЕ значений, так что:

$\sqrt[3]{8} \in \{ 2, [ -1 + i\sqrt{3} ] , [ -1 - i\sqrt{3} ] \}$ ,

и $\sqrt[3]{-8} \in \{ [ 1 + i\sqrt{3} ] , -2, [ 1 - i\sqrt{3} ] \}$ ;

Если вы не знакомы с понятием комплексных чисел вида $[ 1 + i\sqrt{3} ] ,$ которые изучают только в школьных спецкурсах и в институтах, то просто пропустите следующие два абзаца со звёздочкой * , и просто примите к сведению, что есть такие числа – комплексные. Если же вы, хоть немного знакомы с ними – то докажем, что приведённые значения кубических корней верны.

* $( -1 + i\sqrt{3} )^3 =$

$= (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 \cdot i\sqrt{3} + 3 \cdot (-1) \cdot ( i\sqrt{3} )^2 + ( i\sqrt{3} )^3 =$

$= -1 + 3 \sqrt{3} i + 3 \cdot 3 - 3\sqrt{3} i = -1 + 9 = 8$

* аналогично можно показать, что и остальные значения в фигурных скобках, при возведении их в куб будут равны $8$ или $-8$ – соответственно.

Кстати, всем известные «действительные», или «вещественные» числа – являются подмножеством (частным случаем) комплексных чисел (с нулевой мнимой частью). Не нужно «отвергать» понятие мнимых и комплексных чисел, как что-то ненужное, запутанное и фантазийное, что придумывают «умные дяди в математических институтах». Это очень даже нужные числа, которые повсеместно используются и в физике, и в электротехнике, и в аудио- видео- электронике, и в экономике, да и в самой математике, когда через мнимые числа находятся вещественные.

У корней, кроме их значений, существует и такое понятие, как кратность. У алгебраического квадратного корня кратность равна либо нулю (это положительные значения), либо единице (это отрицательные значения). У кубического корня кратность может быть равна: 0, 1 или 2. Корни с кратностью 0 (ноль) – называются главными корнями.

Теперь запишем всё точно:

Кубический корень нулевой кратности из 1 : $\sqrt[3]{1} = 1$ ,

Кубический корень 1-ой кратности из 1 : $\sqrt[3]{1} = \frac{ -1 + i\sqrt{3} }{2}$ ,

Кубический корень 2-ой кратности из 1 : $\sqrt[3]{1} = \frac{ -1 - i\sqrt{3} }{2}$ ,

Кубический корень нулевой кратности из (-1) : $\sqrt[3]{-1} = \frac{ 1 + i\sqrt{3} }{2}$ ,

Кубический корень 1-ой кратности из (-1) : $\sqrt[3]{1} = -1$ ,

Кубический корень 2-ой кратности из (-1) : $\sqrt[3]{1} = \frac{ 1 - i\sqrt{3} }{2}$ ,

Итак, главные корни:

$\sqrt[3]{1} = 1$ ,

$\sqrt[3]{-1} = \frac{ 1 + i\sqrt{3} }{2}$ .

Откуда следует. что если в заданное в условии уравнение подставить значение $x = - 1 ,$ то мы, с точки зрения высшей алгебры, получим неверное равенство:

$\sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{1} = \frac{ 3 + i\sqrt{3} }{2} \neq 0$ .

Аналогично, верное тождество не получается и при использовании кубических корней 1-ой или 2-ой кратности для значения $x = - 1 .$