Корни уравнения |7x-12|-|7x-11|=1

Question

Корни уравнения
|7x-12|-|7x-11|=1

Answer 1

Рассмотрим точки смены знаков выражений под модулем и изобразим графически

--------------11/7------------12/7-----------
       а                    б                   с

зона а.   оба выражения под модулем отрицательны    x≤11/7
12-7x-(11-7x)=12-7x-11+7x=1 то есть все точки x∈(-∞;11/7] являются решениями.

зона б.      11/7≤x≤12/7   одно из выражений под модулем положительно, другое отрицательно
12-7x-(7x-11)=12-7x-7x+11=-14x+23=1
14x=22  x=22/14=11/7 уже в ответе

зона с   оба выражения под модулем положительны      12/7
7x-12-7x+11=-1≠1  решений нет

Comments

другого способа решать их нет.

---

зону б следовало бы выделять так, чтобы она не пересекалась с зоной а. Тогда и не будет этих накладок "уже в ответе"

---

И кстати, другие способы есть. Можно заменить модули на корни из квадратов. Первый решавший так начал делать, но не довел до конца.

---

А можно поподробнее о таком способе(корни из квадратов)?

---

Заменить модули на корни из квадратов и дальше решать как обычное иррациональное уравнение, т.е. возводить в квадрат, переносить что-нибудь в другую сторону и т.д. Но в данном случае, это все не оправдано, лучше решать так как здесь написано. Я к тому, что все-таки есть и другие способы )

---

Спасибо!)

---

Только "зону а" надо выделить так: x<11/17, а не x≤11/7. Это не так уж и принципально, но в этом методе нужно делать именно так. Зоны должны не пересекаться и охватывать всю действительную ось.

---

вернее х<11/7, опечатался

---

что дадут корни из квадратов? головную боль :)

---

Я же написал, что в этом примере это не даст ничего, но есть примеры, где это очень сильно может сократить количество случаев, допустим если какое-нибудь неравенство с модулями и параметрами, чтобы не рассматривать миллионы случаев, выгодно бывает заменить эти модули на корни из квадратов.