с р а в н и т ь :*** задачу необходимо решить без (!) использования частных производных,...

0 голосов
54 просмотров
image a > \frac{1}{|A|} \ ; " alt=" A > a > \frac{1}{|A|} \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

image b > 1 \ ; " alt=" B > b > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">


с р а в н и т ь :

A + \frac{1}{AB} + B \ \ \ \ \ \ ? \ \ \ \ \ \ a + \frac{1}{ab} + b \ \ .


*** задачу необходимо решить без (!) использования частных производных, средствами алгебры и анализа 9 класса школы.




!!!! Внимание !!!! Аккаунты пользователей, публикующих "спам" или "ответы не в тему" в моих заданиях – подвергаются жёсткой проверке, чистке, и, в конечном счёте, я стараюсь добиваться удаления таких аккаунтов.

Прошу никого не беспокоиться. Спамом традиционно считаются ответы типа "ааааа" или "фывлдорп" и т.п. "Ответами не в тему" традиционно считаются копипасты из других задач по математике или другим предметам и т.п. Думающего человека никогда не спутаешь со спамером.

Так что все творческие люди – Welcome!


Математика (8.4k баллов) | 54 просмотров
0

!!! Внимание, один пользователь уже удалён за спам в этой задаче !!!

оставил комментарий (8.4k баллов)
0

!!! Внимание, два пользователя уже удалены за спам в этой задаче !!!

оставил комментарий (8.4k баллов)
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Дано:

A \ \textgreater \ a \ \textgreater \ \frac{1}{A} \ \textgreater \ 0\\\\ B\ \textgreater \ b\ \textgreater \ 1

Доказать:

A+ \frac{1}{AB}+B\ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab} +b


Доказательство:

1) \ A-a\ \textgreater \ \frac{A-a}{Aab}, т.к.  \left \{ {{Aa\ \textgreater \ 1} \atop {b\ \textgreater \ 1}} \right.

A-a\ \textgreater \ \frac{1}{ab}- \frac{1}{Ab}\\\\ (*)\ \ \boxed {A+ \frac{1}{Ab} \ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab}}


A + \frac{1}{Ab} + b \ \textgreater \ a + \frac{1}{ab} + b

2) \ B-b\ \textgreater \ \frac{B-b}{\underbrace{ABb}} \Longleftarrow \left\{\begin{matrix} A &\ \textgreater \ &1 \\ B &\ \textgreater \ &1 \\ b &\ \textgreater \ &1 \end{matrix}\right.\\\\ B-b\ \textgreater \ \frac{1}{Ab}- \frac{1}{AB} \\\\ (**) \ \ \boxed {B+ \frac{1}{AB}\ \textgreater \ b+ \frac{1}{Ab} }


К (**)  добавим в обе части А:

imagea+\frac{1}{ab}+b " alt="A+(B+ \frac{1}{AB})\ \textgreater \ A+(b+ \frac{1}{Ab} )>a+\frac{1}{ab}+b " align="absmiddle" class="latex-formula">

\boxed {A+B+ \frac{1}{AB} \ \textgreater \ a+b+ \frac{1}{ab} }

(4.5k баллов)
0

Спасибо за лучшее))

оставил комментарий (4.5k баллов)
0 голосов

\
image 0 \ , " alt=" A > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">    причём    image \frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; " alt=" A > \frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
image a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; " alt=" A > a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
image 0 \ , " alt=" B > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">    причём    image b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; " alt=" B > b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
\
Рассмотрим три выражения:
\
Grand: \ \ \ \ \ G = A + \frac{1}{AB} + B \ ;
\
Middle: \ \ \ \ \ M = A + \frac{1}{Ab} + b \    и:
\
Small: \ \ \ \ \ S = a + \frac{1}{ab} + b \ ;
\
\
Рассмотрим разность    D = G - M \ :
\
image 0 \ , " alt=" D = A + \frac{1}{AB} + B - ( A + \frac{1}{Ab} + b ) = \frac{1}{AB} + B - \frac{1}{Ab} - b = \\\\ = B - b + \frac{1}{AB} - \frac{1}{Ab} = B - b + \frac{b-B}{ABb} = ( B - b ) ( 1 - \frac{1}{ABb} ) > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
т.к.    image 0 \ , \ \ A > 1 \ , " alt=" B - b > 0 \ , \ \ A > 1 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">    и    image 1 \ . " alt=" Bb > 1 \ . " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
Итак:    image 0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; " alt=" D > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">    [ ** 1 ** ]
\
\
Рассмотрим разность    d = M - S \ :
\
image 0 \ , " alt=" d = A + \frac{1}{Ab} + b - ( a + \frac{1}{ab} + b ) = A + \frac{1}{Ab} - a - \frac{1}{ab} = \\\\ = A - a + \frac{1}{Ab} - \frac{1}{ab} = A - a + \frac{a-A}{Aab} = ( A - a ) ( 1 - \frac{1}{Aab} ) > 0 \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
т.к.    image 0 \ , \ \ Aa > 1 \ " alt=" A - a > 0 \ , \ \ Aa > 1 \ " align="absmiddle" class="latex-formula">    и    image 1 \ . " alt=" b > 1 \ . " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
Итак:    image 0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; " alt=" d > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">    [ ** 2 ** ]
\
\
image 0 \ ; " alt=" G - S = G - M + M - S = D + d > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
image 0 \ ; " alt=" G - S > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
image S \ ; " alt=" G > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
Что так же понятно и из сравнения выражений [ ** 1 ** ] и [ ** 2 ** ] :
\
image M > S \ ; " alt=" G > M > S \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
image a + \frac{1}{ab} + b \ , " alt=" A + \frac{1}{AB} + B > a + \frac{1}{ab} + b \ , " align="absmiddle" class="latex-formula">
\
что и требовалось выяснить и доказать.
\
\
(18 баллов)
Похожие задачи