Имея в виду табличные интегралы:выведем ещё один:учтём, что:тогда:Итак:Возьмём...

0 голосов
37 просмотров

Имея в виду табличные интегралы:

\

1T). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ;

2T). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n \neq -1 \ ;

3T). \ \ \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \ln{|x|} + C \ ;

выведем ещё один:

учтём, что:

dx^2 = 2xdx \ ; \ \ \Rightarrow \ \ 2xdx = dx^2 \ ; \ \ \Rightarrow \\\\ \Rightarrow \ \ \int{ f(x) } \, xdx = \frac{1}{2} \int{ f(x) } \, 2xdx = \frac{1}{2} \int{ f(x) } \, dx^2 \ ;

тогда:

\int{ \frac{x}{ x^2 \pm a } } \, dx = \frac{1}{2} \int{ \frac{ 2xdx }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \int{ \frac{ dx^2 }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \int{ \frac{ d( x^2 \pm a ) }{ x^2 \pm a } } = \frac{1}{2} \ln{ | x^2 \pm a | } + C \ ;



Итак:

1T). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ;

2T). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n \neq -1 \ ;

3T). \ \ \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \ln{|x|} + C \ ;

4T). \ \ \ \ \int{ \frac{x}{ x^2 \pm a } } \, dx = \frac{1}{2} \ln{ | x^2 \pm a | } + C \ ;



Возьмём интеграл:

\int{ d ( arcCtg{x} ) } = arcCtg{x} + C \ ;

\int{ d ( sh{x} ) } = sh{x} + C \ ;



Возьмём интеграл:

\int{ ( (x-3)^5 - (5-x)^3 ) } \, dx = \int{ (x-3)^5 } \, d(x-3) + \int{ (x-5)^3 } \, d(x-5) = \\\\ = \frac{ (x-3)^6 }{6} + \frac{ (x-5)^4 }{4} + C \ ;

Проверим:

( \frac{ (x-3)^6 }{6} + \frac{ (x-5)^4 }{4} + C )'_x = ( \frac{ (x-3)^6 }{6} )'_x + ( \frac{ (x-5)^4 }{4} )'_x = \\\\ = 6 \cdot \frac{ (x-3)^{6-1} }{6} + 4 \cdot \frac{ (x-5)^{4-1} }{4} = (x-3)^5 - (5-x)^3 \ ;



Возьмём интеграл:

\int{ \frac{dx}{ (x+11)^4 } } = \int{ (x+11)^{-4} } \, d(x+11) = \\\\ = \frac{ (x+11)^{-4+1} }{ -4+1 } + C = - \frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C \ ;

Проверим:

( - \frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C )'_x = (-3) \cdot ( - \frac{1}{ 3 (x+11)^{3+1} } ) = \frac{1}{ (x+11)^4 } \ ;



Возьмём интеграл:

\int{ \frac{2dx}{7x+1} } = 2 \int{ \frac{dx}{7x+1} } = \frac{2}{7} \int{ \frac{d(7x)}{7x+1} } = \frac{2}{7} \int{ \frac{d(7x+1)}{7x+1} } = \frac{2}{7} \ln{|7x+1|} + C \ ;

Проверим:

( \ \frac{2}{7} \ln{|7x+1|} + C )'_x = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7x+1} \cdot 7 = \frac{2}{7x+1} \ ;



Возьмём интеграл:

\int{ \frac{5xdx}{3x^2-2} } = \frac{5}{2} \int{ \frac{2xdx}{3x^2-2} } = \frac{5}{2} \int{ \frac{dx^2}{3x^2-2} } = \\\\ = \frac{5}{6} \int{ \frac{d3x^2}{3x^2-2} } = \frac{5}{6} \int{ \frac{d(3x^2-2)}{3x^2-2} } = \frac{5}{6} \ln{ | 3x^2-2 | } + C \ ;

Проверим:

( \frac{5}{6} \ln{ | 3x^2-2 | } + C )'_x = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3x^2-2} \cdot 3 \cdot 2x = \frac{5x}{3x^2-2} \ ;





З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и

проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):


1a). \ \ \ \ \int{ d ( arcsin{x} ) } \ ;

1b). \ \ \ \ \int{ d|x| } \ ;

1c). \ \ \ \ \int{ d \ln{ arctg{x} } } \ ;


<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+2a%29.+%5C+%5C+%5C+%5

Математика (8.4k баллов) | 37 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
1a). \ \ \int d(\arcsin x)=\arcsin x+C\\\\ 1b). \ \ \int d|x|=|x|+C\\\\ 1c). \ \ \int d\ln \arctan x=\ln (\arctan x)+C


2a). \ \ \int (8x^3-12(2-x)^5)dx=\int 8x^3dx-\int 12(2-x)^5dx=\\\\ =8\int x^3dx+12\int(2-x)^5d(2-x)=8\cdot \frac{x^4}{4}+ \frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\\\ =2x^4+2(2-x)^6+C

Проверка:

(2x^4+2(2-x)^6)'=8x^3+2\cdot6\cdot(-1)\cdot(2-x)^5\cdot=8x^3-12(2-x)^5


2b). \ \ \int(28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37})dx= \\\\ \\\\ = \int28(37-x)^{111}dx-\int19(3+x)^{37}dx= \\\\ =-28\int(37-x)^{111}d(37-x)-19\int(3+x)^{37}d(3+x)=\\\\=\frac{-28(37-x)^{112}}{112}- \frac{19(3+x)^{38}}{38}+C=\\\\=-\frac{(37-x)^{112}}{4}- \frac{(3+x)^{38}}{2}+C=\\\\=-\frac{1}{4}(37-x)^{112}-\frac{1}{2}(3+x)^{38}+C

Проверка:

(-\frac{1}{4}(37-x)^{112}-\frac{1}{2}(3+x)^{38})'=\\\\=-\frac{1}{4}((37-x)^{112}})'- \frac{1}{2}((3+x)^{38})'=\\\\=-\frac{1}{4}\cdot 112\cdot(-1)\cdot(37-x)^{111}- \frac{1}{2}\cdot38\cdot1\cdot(3+x)^{37}=\\\\ =28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37}



2c). \ \ \int \frac{6dx}{(x-12)^3} =6\int(x-12)^{-3}d(x-12)=6\cdot \frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- \frac{3}{(x-12)^2} +C

Проверка:


(- \frac{3}{(x-12)^2} )'=-3\cdot((x-12)^{-2})'=-3\cdot(-2)\cdot(x-12)^{-3}= \frac{6}{(x-12)^3}



2d). \ \ \int \frac{12dx}{(19-x)^7}=12\int (19-x)^{-7}dx=\\\\=-12\int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12\cdot \frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= \frac{2}{(19-x)^6}+C

Проверка:

( \frac{2}{(19-x)^6})'=2\cdot((19-x)^{-6})'=2\cdot(-6)(-1)\cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= \frac{12}{(19-x)^7}



3a). \ \ \int \frac{3dx}{9-2x} =3\int \frac{dx}{9-2x} =- \frac{3}{2} \int \frac{d(9-2x)}{9-2x}=- \frac{3}{2}\ln|9-2x|+C

Проверка:

- \frac{3}{2}(\ln|9-2x|)'=- \frac{3}{2}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{9-2x}= \frac{3}{9-2x}



3b). \ \ \int \frac{2dx}{3x-7}=2\int \frac{dx}{3x-7}= \frac{2}{3} \int \frac{d(3x-7)}{3x-7}= \frac{2}{3}\ln|3x-7|+C

Проверка:

( \frac{2}{3}\ln|3x-7|)'= \frac{2}{3}\cdot3\cdot \frac{1}{3x-7}= \frac{2}{3x-7}


4a). \ \ \int \frac{4xdx}{2x^2-5}= \frac{4}{2}\int \frac{2xdx}{2x^2-5}=2\int \frac{dx^2}{2x^2-5}= \frac{2}{2}\int \frac{d2x^2}{2x^2-5} =\int \frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\\\ =\ln |2x^2-5|+C

Проверка:

(\ln |2x^2-5|)'= \frac{1}{2x^2-5} \cdot 4x= \frac{4x}{2x^2-5}


4b). \ \ \int \frac{11xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{2}\int \frac{2xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{14} \int \frac{d7x^2}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\int \frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\ln |7x^2+6|+C

Проверка:

( \frac{11}{14}\ln|7x^2+6| )'= \frac{11}{14}\cdot(\ln|7x^2+6|)'\cdot(7x^2+6)'= \frac{11}{14}\cdot14x\cdot \frac{1}{7x^2+6}=\\\\ = \frac{11x}{7x^2+6}



<img src="https://tex.z-dn.net/?f=4c%29.+%5C+%5C+%5Cint++%5Cfrac%7B3xdx%7D%7B%283x%29%5E2-2%7D%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cint+%5Cfrac%7B2xdx%7D%7B9x%5E2-2%7D%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%5Cint+%5Cfrac%7Bdx%5E2%7D%7B9x%5E2-2%7D%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%5Cint+++%5Cfrac%7Bd9x%5E2%7D%7B9x%5E2-2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%0A%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cint+%5Cfrac%7Bd%289x%5E2-2%29%7D%7B9x%5E2-2%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cln%7C9x%5E2-2%7C%2BC++" id="TexFormula50" title="4c). \ \ \int \frac{3xdx}{(3x)^2-2}= \frac{3}{2}\int \frac{2xdx}{9x^2-2}= \frac{3}{2} \int \frac{dx^2}{9x^2-2}= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{9}\int \frac{d9x^2}{9x^2-2}=\\\\ = \frac{1}{6}\int \frac{d(9x^2-2)}{9x^2-2}= \frac{1}{6}\ln|9x^2-2|+C " alt="4c). \ \ \int \
(4.5k баллов)
Похожие задачи