Чтобы найти экстремум функции двух переменных, нужно найти частные производные:
z'по x=6x+5y+4
z'по y=6y+5x+7
Далее составляем систему уравнений, в которой первое уравнение: 6x+5y+4=0, а второе: 6y+5x+7=0. Решая систему, получим x=1, y=-2. Получили стационарную точку М0(1;-2).
Далее нужно проверить, имеет ли функция экстремум. Для этого нужно найти частные производные второго порядка и найти их значение в стационарной точке.
z'по xx=6 z'по xx(M0)=6 обозначим А
z'по xy=5 z'по xy(M0)=5 обозначим В
z'по yy=6 z'по yy(M0)=6 обозначим С
Теперь проверяем условие существования экстремума:
Если АС-В^2>0, то экстремум есть.
Если АС-В^2<0, то экстремума нет.<br>Проверяем:
6*6-5^2=11>0
Значит экстремум есть.
Если А>0, то это точка минимума.
Если А<0, то это точка максимума.<br>А=6>0/ Значит в точке М0 существует точка минимума.
Найдём её. Для этого найдём значение первоначальной функции z в точке M0;
z(M0)=3+12-10+4-14+5=0.
Ответ: В точке М0 имеется минимум, равный 0.