Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Через точку К - середину отрезка секущей - проведем перпендикуляр к прямой b - КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН' по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН' по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН'К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН', значит они параллельны.
Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.