Если диагонали трапеции АВСД перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Е, то треугольники АЕД и ВЕС подобны друг другу и имеют острые углы в 45°.
АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9.
EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3.
Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции.
АС = ВД = 9 + 3 = 12.
Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция.
Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника.
R = abc/(4S).
Боковую сторону находим по теореме косинусов:
СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 =
= 9.486833.
Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона:
S √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378.
Тогда S = 54.
Детали этого треугольника:
a b c
p 2p S
9.486833
12.727922 12 17.107378 34.21475504 54
x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z
7.620545 4.379456
5.107378 170.45278 2916
cos A =
0.707107
cos B =
0.316228 cos С =
0.447214
Аrad =
0.785398 Brad =
1.249046 Сrad =
1.107149
Аgr =
45
Bgr =
71.565051 Сgr =
63.434949.
Теперь находим радиус:
R = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 = = 6.708203932.
Это же значение можно представить как R = √45 = 3√5.
Площадь треугольника АСД можно найти проще:
S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.
Радиус окружности можно определить через корни:
R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.