вычислить алгебра

Замена переменной
х-2=t
d(x-2)=dt
dx=dt

Пределы интегрирования
при х=0 t=-2
при х=4 t=2

$\int^2_{-2} \sqrt{4-t^2}dt$

Из геометрического смысла определенного интеграла- то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=√(4-t²) на отрезке [-2;2]

Площадь половины окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 2

$S= \frac{\pi R^2}{2}= \frac{ \pi \cdot 2^2}{2} =2 \pi$

Этот интеграл можно считать методом интегрирования по частям или методом замены переменной ( тригонометрические подстановки)

z=2sint
dz=2cost dt
пределы
при t=-2 -2=2sint решаем это уравнение и получаем t=-(pi/2)
при t=2 2=2sint t=(pi/2)

$\int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { \sqrt{4-4sin^2z} }\cdot 2cosz \, dz = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} ( 2cosz )\cdot 2cosz \, dz=$

$=4 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { cos^2z \, dz=4 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{1+cos2z}{2} \, dz=$

$2 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} (1+cos2z) \, dz=2(z+ \frac{sin2z}{2})|^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} = 2\pi$