Дано:
r = 5 мм = 5•10-3 м,
А = 10 см = 1•10-1 м,
ρ = 1•1010 Ом•м.
Найти R.
Решение.
Среда слабо проводящая, можно считать, что проводимость шариков yfмного больше проводимости среды. Тогда можно спокойно пренебречь изменениями потенциала внутри шарика и считать, что все точки шарика имеют один и тот же постоянный потенциал, который обозначим φ1 и φ2.
Полный ток между шариками I = Φ•j dS = (1 / ρ) ΦE dS.
По теореме Гаусса Φ dS = q / εε0 = C (φ1 - φ2) / εε0,
где С - емкость конденсатора, получившегося из двух шариков, ε0 - электрическая постоянная.
Тогда получим I = C (φ1 - φ2) / ρεε0 . [1]
В тоже время по закону Ома I = (φ1 - φ2) / R. [2]
Из уравнений [1] и [2] можно вывести равенство С (φ1 - φ2) / ρεε0 = (φ1 - φ2) / R.
Отсюда получаем R = ρεε0 / C. [3]
Также понятно, что емкость конденсатора, составленного из двух шаров радиусом r, находящихся в среде с проницаемостью ε на расстоянии А >> друг от друга равна:
С = 2πεε0r. [4]
Подставляем [4] в [3] и получаем:
R = ρεε0 / C = ρεε0 / 2πεε0r = ρ / 2πr.
Остается только подставить значения в ответ.
R = 1•1010 / 2•3,14•5•10-3 ~3•1011 Ом.
Ответ: R = 3•1011 Ом.