Даны положительные числа a, b, c такие, что a^2 =11, b^2 =13, c^2 =48. Разрешается...

Question

Даны положительные числа a, b, c такие, что
a^2 =11,
b^2 =13,
c^2 =48.
Разрешается использовать только операции сложения, вычитания и
умножения, запоминать любое количество промежуточных результатов и
сравнивать их с нулем. Можно ли с помощью этих действий проверить
равенство a + b = c ?

Answer 1

Ответ: да, можно.

Предположим, что a + b = c. Возведём это равенство в квадрат:

- ещё раз возводим в квадрат:



Выполнение этого равенства необходимо (не факт, что достаточно!) для того, чтобы выполнилось a + b = c, при этом его можно проверить при помощи указанных операций (первое слагаемое, например, представимо в виде , а второе слагаемое и разность получаются тривиально).

Проверим на наших числах:
, поэтому a, b, c гарантированно не удовлетворяют указанному равенству.

__________________________________

Попробуем понять, достаточно ли выведенное условие, т.е. может ли случиться так, что для каких-то положительных , , выполняется  но .  Решаем уравнение:





Итак, выведенное уравнение выполняется при (знаки выбираются независимо). Кроме нужного случая добавляются ещё 3 возможных решения, при этом два из них отсекаются при условии положительности чисел, остаётся только две возможности:
1)
2)
Если выполняется условие a" alt="c>a" align="absmiddle" class="latex-formula">, b" alt="c>b" align="absmiddle" class="latex-formula">, то реализуется первый случай, иначе - второй.
Итак, выведенное условие необходимо и достаточно в том случае, если - максимальное из трёх чисел.