Пожалуйста, помогите решить данную задачу НЕ использую такого правила: угол между...

Question

Пожалуйста, помогите решить данную задачу НЕ использую такого правила:
угол между секущими измеряется полуразностью дуг между ними.
Данное решение будет иметь верный ответ (56 градусов), но это не является теоремой или особым свойством окружности и секущих, такой метод получен лишь опытом решения подобных заданий.
Заранее благодарю!

---

Comments

Это свойство (про полуразность) очень полезное и как раз таки обычная теорема и ее часто удобно пользоваться. Как, например, в этой задаче. Выводится она легко из того, что вписанные углы в окружности равны половине соответствующих центральных? Эту теорему можно использовать?

---

Вероеятно, попробуйте.

---

Или можно воспользоваться тем свойством, что угол между касательной и хордой в точку касания равен половине центрального соответств. этой хордой. Такой факт вас устроит? Или тоже его надо доказывать?

---

Такой способ без доказательства не подойдёт...

Answer 1

Рисунок немного не соответствует условию. Т.к. дуга 209° больше 180°, то точка D должна лежать по ту же сторону от прямой AO, что и С.
Будем пользоваться только определением окружности, касательной и суммой углов равнобедренного треугольника и четырехугольника.
∠AOD=360°-209°=151°.
∠COD=151°-97°=54°.
Т.к. треугольник СОD - равнобедренный, то ∠ODC=(180°-54°)/2=63°.
∠OAB=90°, т.к. AB - касательная.
Значит из 4-угольника OABD, сумма углов которого 360°, получаем
∠ABD=360°-∠OAB-∠ODC-∠AOD=360°-90°-63°-151°=56°.

Comments

Спасибо большое, очень помогли, мне кажется ваше решение очень точно всё объясняет. Насчет рисунка вы правы, вероятно, уклон у составителей был сделан на условие.

---

Пожалуйста. Кстати, если заменить 209 на α, а 97 на β и проделать все эти вычисления, то как раз и получится, что ∠ABD=(α-β)/2. Т.е. той формулой с полуразностью можно спокойно пользоваться.

---

правда, это вывод в случае касательной. Если две секущие то по-другому выводить.