Найти интеграл

Знаменатель разложим на множители
x³-8=(x-2)(x²+2x+4)
Подинтегральную функцию на простейшие дроби
$\frac{1}{x^3-8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Mx+N}{x^2+2x+4} \\ \\ 1=A(x^2+2x+4)+(Mx+N)(x-2)$
применяя метод частных значений
при х=2 получим
1=A·12⇒ A=1/12
приравнивая многочлены
1=(A+M)x²+(2A+N-2M)+(4A-2N)
получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
A+M=0 ⇒ M=-A=-1/12
2A+N-2M=0 ⇒ 2A+N+2A=0 ⇒ N=-4A=-4/12=-1/3
4A-2N=1 это уравнение можно использовать для проверки
4·(1/12)-2·(-1\3)=1 1/3+2/3=1 - верно

$\int \frac{1}{x^3-8}dx= \int \frac{ \frac{1}{12} }{x-2}dx+\int \frac{- \frac{1}{12}x- \frac{1}{3} }{x^2+2x+4}dx= \\ \\ =\frac{1}{12}\int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{12}\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx$

1) $\int \frac{dx}{x-2} =ln|x-2|+C_1$

2) $\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=\int \frac{x+4}{x^2+2x+1+3}dx=\int \frac{x+4}{(x+1)^2+3}dx=$
замена переменной
х+1=t
x=t-1
dx=dt
$=\int \frac{t-1+4}{t^2+3}dt=\int \frac{t}{t^2+3}dt+\int \frac{3}{t^2+3}dt= \\ \\ = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^2+3}dt+3\int \frac{1}{t^2+( \sqrt{3})^2 }dt= \\ \\ = \frac{1}{2} ln|t^2+3|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{t}{ \sqrt{3} } +C_2$
Ответ.
$\frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{12}( \frac{1}{2} ln|x^2+2x+4|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} })+C= \\ \\ =\frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{24} ln|x^2+2x+4|-\frac{ \sqrt{3} }{ 12 }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} }+C$