1. f(x) =(1/3)*lnx .
---
f '(x) -? , f '(3/4) -?
f '(x) = ((1/3)*lnx)' =(1/3)*(lnx)' =1/3)*(1/x) =1/(3x).
f '(3/4) =1/(3*3/4) =4/9.
-------
2.
y ' =4y
dy/dx =4y ⇔dy/y =4dx ⇒ Lny =4x +C (C-произвольная постоянная)
Lny =4x (если С=0)⇒ у =e^4x.
-------
3.
f(x) =3^(2x) ; xo =0.
---
уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой xo:
y -f(xo) = f '(xo)(x-xo);
f(xo) =3^(2*xo)= 3^(2*0) =1 ;
f'(x) =(3^(2x)) ' = 3^(2x)*ln3*(2x)' =3^(2x)*2ln3.
f'(xo) =3^(2xo)*2ln3 =3^(2*0)*2ln3 =1*2ln3 =2ln3 .
---
y -1 = 2ln3(x-0)⇔y = 2ln3*x+1.
-------
4.
f(x) =(e^x)/(3*x).
---
Определить области возрастания и убывания функции
ОДЗ: x∈(-∞; 0) ∪ (0 ;∞).
f ' (x) =((e^x)/(3*x)) ' =(1/3)*((e^x)' *x -(x)'* e^x)/ x²= (e^x)*(x -1)/(3x²) .
функция возрастает (↑), если f ' (x) ≥ 0 ⇒ x -1 ≥ 0 ⇔ x ∈ [1 ;∞).
функция убывает(↓), если f ' (x) ≤ 0 ⇒ x -1 ≤ 0 ⇔ x∈(-∞ ;0) и x∈(0 ;1].
* * * (e^x)/(3x²) >0 * * *
-------
5.
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=4/x ,y =4 , x=4.
---
4/x =4 ⇒x =1 (абсцисса точки пересечения линии y =4/x и y =4.
4 4
S =∫ (4 -4/x)dx =4(x -Lnx) | =4(4 -ln4 -(1-Ln1))=4*(3 -ln4).
1 1