Решите задачу: В равеобедренную трапецию вписана окружность Площадь трапеции 125 Хорда,...

Question

Решите задачу:
В равеобедренную трапецию вписана окружность
Площадь трапеции 125
Хорда, проходящая над центром, и соединяющая боковые стороны трапеции равна 8
Найдите площадь круга

Answer 1

Если провести высоту через центр вписанной окружности, и радиусы в точки касания, то очевидно
h = 2*R;
m/(2*R) = sin(α); α - угол при большем основании,  трапеции.
Второе соотношение только кажется неочевидным - угол, под которым видна половина заданной хорды из центра окружности, составляет 180° вместе с углом трапеции при меньшем основании, то есть равен углу при большем основании трапеции.
Кроме того, в описанной равнобедренной трапеции боковая сторона  равна полусумме оснований c = (a + b)/2, поэтому  S = c*h;
Получилось
m/h = h/c; c = S/h; или (2*R)^3 = m*S; R^3 = m*S/8;
Отсюда легко найти R, а потом и площадь круга.
Если подставить числовые значения, то R = 5; площадь круга 25π

Comments

То есть они равны

---

Дальше если провести высоту из вершины тупого угла, то sin(α) = h/c; где c - боковая сторона

---

а из дельтоида видно, что sin(α) = (m/2)/R; я это назвал короткой (но ёмкой) фразой "половина хорды видна из центра под тем же углом"...

---

надо просто немного напрячься и понять, что означают написанные слова :)

---

Остается последнее. в ЛЮБОМ описанной четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это как раз и означает, что 2*c = a + b; то есть боковая сторона равна средней линии

---

поэтому S = c*h; это просто обычная формула площади трапеции, куда подставлено выражение c = (a + b)/2

---

Я так думаю, дальше пояснять смысла нет

---

На всякий случай, для всех, кто это прочтет. Каковы бы ни были "правила сервера", меня совсем не волнует, сдаст "автор задачи" своё задание или нет. Мне ИНТЕРЕСНО, сможет ли он ПОНЯТЬ РЕШЕНИЕ. Я тут торчу и ковыряю элементарные задачки только для этого. Вот такой я эгоист :))) и меня не переделать :)))

---

Так что если вам не охота понимать, а хочется получить решенное и оформленное задание, то мои ответы можно вообще не читать. Но вы должны быть рады, что решение когда-нибудь кому-нибудь все-таки может пригодиться :)))

---

Считайте, что это ваш безвозмездный вклад в чье-то увлечение геометрией :)