Помогите найти частное решение диффиринциального уравнения xy' - y=x^3, у(1)=0

Ну давай попробуем многочлен 3 степени:
$y = a x^{3} +b x^{2} +cx+d$
$y' = 3a x^{2} +2bx+c$
$3a x^{3} +2b x^{2} +cx - ax^{3} -b x^{2} -cx-d= x^{3}$
$2a x^{3}+b x^{2} -d = x^{3}$
Отсюда видно, что d=0, b=0, a=1/2, с может быть любым, но из условия у(1)=0 получаем a+b+c+d=0, значит c=-a=-1/2
Вот тебе и ответ: $y= \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x$
Осталось только подставить, чтобы убедиться: подходит.