Решите неравентсво

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

0 \ ; " alt=" x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

Найдём нули функции:

$f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 \ ;$

Для этого решим уравнение:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 \ ;$

По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, которая гласит, что их числители являются делителями свободного слагаемого, а знаменатели – делителями старшего коэффициента, находим, что модуль возможного корня единственный:

$|x| = 1 \ ;$

Проверим:

$x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ f(\pm1) = (\pm1)^4 - (\pm1)^3 - 4 \cdot (\pm1)^2 \mp 1 + 1 = 1 \mp 1 - 4 \mp 1 + 1 = -2 \mp 2 \ ;$

Откуда ясно, что    $f(x=-1) = -2 + 2 = 0 \ ;$

Итак    $x=-1 \$     – один из корней указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен делиться без остатка на    $(x+1) \ ,$     выделим этот множитель:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 (x+1) - 2x^3 - 4x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x^2 - x + 1 = \\\\ = x^3 (x+1) - 2x^2(x+1) - 2x(x+1) + x + 1 = \\\\ = (x+1) ( x^3 - 2x^2 - 2x + 1 ) \ ;$

По теореме Безу о модулях рациональных корней многочлена, в применении уже к кубическому многочлену, стоящему в длинной скобке, находим, что модуль возможного корня единственный:

$|x| = 1 \ ;$

Проверим:

$x = \pm1 \ \ \ : \ \ \ (\pm1)^3 - 2 \cdot (\pm1)^2 - 2 \cdot (\pm1) + 1 = \pm 1 - 2 \mp 2 + 1 = -1 \mp 1 \ ;$

Откуда ясно, что    $x=-1 \$     – кратный корень,
который подходит и в кубический многочлен.

Итак    $x=-1 \$     – двойной корень указанного уравнения. По теореме Виета исследуемый многочлен должен дважды делиться без остатка на    $(x+1) \ ,$     выделим этот множитель вторично:

$x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = x^2(x+1) - 3x^2 - 2x + 1 = \\\\ = x^2(x+1) - 3x(x+1) + x + 1 = (x+1) ( x^2 - 3x + 1 ) \ ;$

Таким образом:

$x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) \ ;$

И не составит никакого труда решить уравнение:

$(x+1)^2 ( x^2 - 3x + 1 ) = 0 \ ;$

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \ ;$

$x_1 = -1 \ ;$

$x_{2,3} = \frac{ 3 \pm \sqrt{5} }{2} \ ;$

0 > x_1 \ ; " alt=" x_{2,3} > 0 > x_1 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

По теореме Виета мы можем переписать исходное неравенство, как:

0 \ ; " alt=" x^4 - x^3 - 4x^2-x+1>0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

0 \ ; " alt=" (x+1)^2 ( x - \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) ( x - \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

С учётом знака и степени при старшем коэффициенте – функция, очевидно, монотонно уходит на    $+\infty \ ;$     при    $x \to \pm \infty \ ;$

При переходе через    $x_1 \$     функция не меняет знака, так как корень чётный, однако нужно понимать, что сам корень не удовлетворяет строгому неравенству.

При переходе через    $x_{2,3} \$     функция меняет знак, а сами корни тоже не удовлетворяет строгому неравенству.

Окончательно имеем:

0 " alt=" x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ ; \ \Rightarrow \ f(x)>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
– неравенство удовлетворено.

$x \in ( \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ; \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ) \ ; \ \Rightarrow \ f(x) < 0$
– неравенство НЕ удовлетворено.

О т в е т : $x \in ( -\infty ; -1 ) \cup ( -1 ; \frac{ 3 - \sqrt{5} }{2} ) \cup ( \frac{ 3 + \sqrt{5} }{2} ; +\infty) \ .$

gartenzie_zn (8.4k баллов) 18 Апр, 18

Осюда следует вывод, что от минус бесконечности до самого левого корня функция положительна (т.е. исходное неравенство удовлетворено) и от самого правого корня до плюс бесконечности – функция тоже положительна и неравенство опять же удовлетворено. Далее, двигаясь навстречу, можно проанализировать знак функции, имея в в иду, что она меняет знак при переходе через каждый из корней, в том случае, если корень является нечётным.

оставил комментарий gartenzie_zn (8.4k баллов) 18 Апр, 18

бабаУля_zn · Answer 1 · 2018-04-18T15:53:11+0000

$x^4-x^3-4x^2-x+1\ \textgreater \ 0$

Для начала решим уравнение:

$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$

Решим методом неопределенных коэффициентов.
Зная, что любой многочлен четвертой степени можно разложить на два квадратных многочлена, применим схему:

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\x^4+ax^3+cx^3+acx^2+bx^2+dx^2+bcx+adx+bd=\\ x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd$

Составим систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} a &+ &c &= &-1 & & \\ ac &+ &b &+ &d &= &-4 \\ ad &+ &bc &= &-1 & & \\ bd &= &1 & & & & \end{matrix}\right.$

Подберем к четвертому уравнению пару, удовлетворяющую нашей системе:

$\left\{\begin{matrix} b &= &1 \\ d &= &1 \end{matrix}\right.\ \ \left\{\begin{matrix} b &= &-1 \\ d &= &-1 \end{matrix}\right.$

Нам подошла система первой пары. Подставляем и решаем уравнение:

$a=-1-c$

$c(-1-c)+1+1=-4\\ -c-c^2+2=-4\\ -c^2-c+6=0\ |:(-1)\\ c^2+c-6=0\\ D=1+24=25; \sqrt{D} =5\\\\ c_{1/2}= \frac{-1\pm5}{2} \\ c_1=-3\\ c_2=2$

Возьмем любое значение с и выполним проверку:

$ad+bc=-1\\ 2\cdot(-3)+1+1=-4\\ -6+2=-4\\ -4=-4$

Итог: $a=-3\\ b=1\\ c=2\\ d=1$

Возвращаемся к нашей схеме. Подставим все найденные элементы:

$(x^2-3x+1)(x^2+2x+1)=0\\\\ x^2-3x+1=0\\ D=9-4=5; \ \sqrt{D} =\sqrt{5}\\\\ x_{1/2}= \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \\\\\\ (x+1)^2=0\\ x+1=0\\ x=-1$

__+__-1__+__ $\frac{3-\sqrt5}{2}$ __-__ $\frac{3+\sqrt5}{2}$ __+__

Ответ: $x\in (-\infty; -1)\bigcup(-1; \frac{3-\sqrt5}{2})\bigcup( \frac{3+\sqrt5}{2}; +\infty)$