1. В первом случае "в начале" является существительным с предлогом. Вопрос "когда?", так как это обстоятельство. Да и после него идёт дополнение, (в начале чего? - четверти) которое уже даёт нам понять суть.
Во втором случае "вначале" является наречием, так как вопрос "как". Также мы можем его заменить на более понятное (сначала). Не можем же мы сказать, что "в начале" делай. Так предложение просто потеряет смысл.
2. Тут точно также. Есть пояснение: уходят (куда?) в глубь, значит, существительное. Просто вглубь - наречие.
3. В гору какую? - крутую - существительное, следовательно, пишем раздельно. Ели яйца "как"? вкрутую, т.е. наречие.
Вывод:
Всё зависит от того, какая это часть речи. Если существительное, то предлог "в" пишется раздельно. Если это наречие, то слитно. Ещё важно понять смысл самого предложения. Учтя все эти правила, то не будет проблем вообще. Это как масло на хлеб намазать.