В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписан другой треугольник, вершинами...

Question

В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и т.д.Найдите периметр 8 треугольника. Заранее спасибо за помощь!

Answer 1

стороны второго вписанного треугольника будут средними линиями первого треугольника и будут = а/2 (если а - сторона первого треугольника)

для третьего треугольника сторона будет = а/2 : 2 = а/4

для четвертого --- а/8 (для n-ного а / 2^(n-1))

для восьмого --- а/128

P = 3а / 128

 

Answer 2

найдем площадь первого треугольника: 

S=√3*a^2/4

S=√3*8*8/4=16√3см2

каждая из сторон второго треугольника равна половине стороны первого треугольника, т.к. они являются средними линиями первого треугольника.

все треугольники подобны, с коэфициентом подобия равным 2, значит площади относятся как 1/2*2

поэтому отношения площадей к площади первого будут таковы:

2- 1/4

3- 1/4/4

4- 1/4/4/4

5- 1/4/4/4/4

6- 1/4/4/4/4/4

7- 1/4/4/4/4/4/4

8- 1/4/4/4/4/4/4/4

8 - 1/4^7

S8=16√3/4^7=√3/4^5=√3/1024см2

ответ: √3/1024см2