Рисунок, данный в Вашем приложении, не совсем отвечает условию задачи.
Решение.
ВН=ВК+КН
АК ⊥ВН ⇒ АК высота тр-ка АВН.
Из Δ АКН по т.Пифагора
КН²=АН²-АК²
КН²=(4√5)²-8²=80-64=16
КН=√16=4
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой⇒
АК²=ВК*НК
64=ВК*4
ВК=64:4=16⇒
ВН=16+4=20
-------------------
Или:
Т.к. высота прямоугольного треугольника к гипотенузе делит его на подобные, то
найдя КН=4 по т.Пифагора, из подобия Δ АВН и Δ АКН следует
ВН:АН=АН:КН
ВН:4√5=4√5:4
4ВН=80
ВН=20
