1. a) Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями ( сделав рисунок ). y = 2x²; y=8....

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\int\limits^1_{-1} { \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12} } \, dx$

Во первых, максимально упростим подинтегральное выражение:
$\int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)(x-4)}{(x-3)(x-4)} } \, dx= \int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{(x-3)} } \, dx$
$\int\limits^1_{-1} { \frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{-(3-x)} } \, dx=\int\limits^1_{-1} {-(3+x)(x+4) \, dx=\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx$
Если вам не понятно, поясню. В числителе было произведение разностей квадратов, а значит, можно привести данные выражения к более простым (как мы и сделали), а в знаменателе, я разложил многочлен на множители с помощью метода разложения квадратного трехчлена.
Нам осталось решить определенный интеграл через формулу Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx=- \frac{1}{3}x^3- \frac{7}{2}x^2-12x\Big|_{-1}^1- \frac{x^3}{3}- \frac{7x^2}{2}-12x\Big|_{-1}^1=( -\frac{1}{3}-\frac{7}{2}-12)-( \frac{1}{3}-\frac{7}{2}+12)=-\frac{2}{3}-24$

То есть:
$\int\limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} \, dx=-24 \frac{2}{3}$

2)
Вначале решим определенный интеграл, а потом неравенство:
$\int\limits^a_2 {2x} \, dx=x^2\big|_2^a=a^2-4$

Теперь неравенство:
$a^2-4\ \textgreater \ 5$
$a^2\ \textgreater \ 9$ - перенесли 4 в право.

Переносим 9 в лево:
$a^2-9\ \textgreater \ 0$
Так как это разность квадратов, получаем:
$(a+3)(a-3)\ \textgreater \ 0$
Есть 2 корня, при котором левое выражение обращается в нуль:
$a_{1,2}=\pm3$
Отметим данные точки на числовой прямой, и получим 3 интервала:
$(-\infty,-3)(-3,3)(3,+\infty)$
Теперь проверим знаки на каждом из интервалов (нам подойдет интервал со знаком +, так как наше неравенство строго больше нуля).
$(-\infty,-3)=+$
$(-3,3)=-$
$(3,+\infty)=+$

Отсюда ответ:
$x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$

3)
Во первых границы фигуры:
$2x^2=8$
$x^2=4$
$x_{1,2}=\pm2$

График $y=2x^2$ начинается из начала координат, график y=8 с точки (0;8).
Понятное дело, что график y=8 выше $y=2x^2$ на данном отрезке $x\in[-2,2]$

Составим определенный интеграл:
$\int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx$ - заметьте, мы отняли из высшего графика, низший.
По теореме Ньютона-Лейбница, находим:
$\int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx =8x-\frac{2x^3}{3}\big|_{-2}^2=(16- \frac{16}{3})-(-16+ \frac{16}{3})=32- \frac{32}{3}= \frac{64}{3}$
$\int\limits^2_{-2} {8-2x^2} \, dx =\frac{64}{3}=21 \frac{1}{3}$

Newtion_zn (46.3k баллов) 18 Апр, 18