Найти все значения параметра а , при которых уравнение имеет только один корень. В ответ...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\frac{1}{4x^2}+ \frac{1}{x}+a=0 \\\ \frac{1+4x+4ax^2}{4x^2}=0$
Запишем, что $x \neq 0$ и перейдем к следующему уравнению:
$1+4x+4ax^2=0$
Если $a=0$ , то получим линейное уравнение:
$1+4x=0 \\\ x=- \frac{1}{4}$
В этом случае получаем единственный корень, значит значение $a=0$ удовлетворяет заданному условию.
Если $a \neq 0$ , то получаем квадратное уравнение, наличие решений у которого зависит от дискриминанта:
$4ax^2+4x+1=0 \\\ D_1=2^2-4a\cdot1=4-4a$
Возможны две версии: 1) при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень, подходящий по ОДЗ; 2) при положительном дискриминанте уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, а следовательно не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. При подстановке предполагаемого корня 0 в уравнение получим неверное равенство $1=0$ , значит остается единственный вариант: приравнять дискриминант к нулю и проверить, будет ли уравнение в этом случае иметь единственный корень:
$4-4a=0 \\\ a=1$
Уравнение принимает вид:
$4x^2+4x+1=0 \\\ (2x+1)^2=0 \\\ 2x+1=0 \\\ x=- \frac{1}{2}$
Значит значение $a=1$ также удовлетворяет заданному условию.
В итоге получаем: $a\in\{0;1\}$ , тогда $a_{max}=1$
Ответ: 1

Artem112_zn (271k баллов) 18 Апр, 18