Число 10 представьте в виде суммы двух слагаемых так , чтобы сумма их кубов была...

Решение:
Составим на эту задачу модель в виде систем уравнений:
$\left \{ {{x+y=10} \atop {x^3+y^3=S}} \right.$
Выразим y через x с 1 уравнения:
$\left \{ {{y=10-x} \atop {x^3+y^3=S}} \right.$
Тогда мы можем сказать, что второе уравнение будет таким:
$\left \{ {{x+y=10} \atop {x^3+(10-x)^3=S}} \right.$
Т.о., наша сумма зависит от x. Т.е. мы составили зависимость S(x).
Так как в задаче требуется найти минимум, найдем точки экстремума функции S(x). Для этого найдем производную.
$S'(x) = 3x^2 - 3(10-x)^2$
Точки экстремума находятся там, где производная функции равна 0.
$3x^2-3(10-x)^2=0 \\ x^2 - (10-x)^2 = 0 \\ (x + 10 - x)(x - 10 + x) = 0 \\ 2x - 10 = 0 \\ x = 5$
Из первого уравнения можем сказать, что y = 5 тоже. Т.о., минимальная сумма кубов числа должна равняться $5^3+5^3=125+125=250$
Ответ: 5 и 5 (сумма = 250)