Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Найти общее решение:

Question 1

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Найти общее решение:
$x^{2} * y' = 2xy - 3$

Question 2

$y'x^2 = 2xy - 3 \ ;$

Решим соответствующее однородное уравнение:

$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy \ ;$

$\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x} \ ;$

$\int{ \frac{dy}{y} } = 2 \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$

$\ln{|y|} = 2 \ln{|x|} + C_1 \ ;$

$\ln{|y|} = \ln{ ( C|x|^2 ) } \ ;$

$|y| = Cx^2 \ ;$

$y = Cx^2 \ ;$

Введём вместо константы C функцию f(x):

$y = x^2 f(x) \ ;$

$y' = 2x f(x) + x^2 f'(x) \ ;$

Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение:

$x^2 ( 2x f(x) + x^2 f'(x) ) = 2x \cdot x^2 f(x) - 3 \ ;$

$2x^3 f(x) + x^4 f'(x) = 2x^3 f(x) - 3 \ ;$

$x^4 f'(x) = - 3 \ ;$

$f'(x) = - \frac{3}{x^4} \ ;$

$f(x) = \int{ f'(x) } \, dx = - \int{ \frac{3}{x^4} } \, dx = - \int{ 3x^{-4} } \, dx = x^{-3} + C = \frac{1}{x^3} + C \ ;$

Тогда общим решением исходного
неоднородного дифференциального уравнения будет:

$y = x^2 f(x) = x^2 ( \frac{1}{x^3} + C ) = \frac{1}{x} + Cx^2 \ ;$

О т в е т : $y = \frac{1}{x} + Cx^2 \ .$

Question 3

И так мы получаем решение соответствующего (похожего) дифф.уравнения y'x^2 = 2xy, общим решением для которого является y=Cx^2.

Question 4

Ясное дело, раз мы решали "не то уравнение", а "похожее", то и решение мы получили не для исходного, а для "похожего".

Question 5

Далее применяем вариативный метод. Т.е. варьируем константу С, превращая это в функцию, так что константа превращается в переменную функцию C=f(x). И смотрим, что нам это даёт.

Question 6

В большом числе случаев, такое "разбалтывание" решения как раз и позволяет решить сложную неоднородную неразделяемую дифференциальную задачу.

Question 7

Если вы сомневаетесь, проверьте:

Question 8

y = 1/x + Cx^2

Question 9

y' = -1/x^2 + 2Cx

Question 10

y'x^2 = -1 + 2Cx^3 ;

Question 11

2xy - 3 = 2 + 2Cx^3 - 3 = -1 + 2Cx^3 ;

Question 12

как видим, последние две строчки дают тождественные функции, т.е. удовлетворяют исходному неоднородному дифф. уравнению.