Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка При x = 0, y = 0

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-18T20:48:56+0000

Домножим всё на    $\cos{x} \$

$y' \cos{x} - y \sin{x} = 1 \ ;$

Решим соответствующее однородное дифф.уравнение:

$y' \cos{x} - y \sin{x} = 0 \ ;$

$\frac{dy}{dx} \cos{x} = y \sin{x} \ ;$

$\frac{dy}{y} = tg{x} dx \ ;$

$\int{ \frac{dy}{y} } = \int{ \frac{ \sin{x} \cdot dx }{ \cos{x} } } \ ;$

$\ln{ | y | } = - \int{ \frac{ d \cos{x} }{ \cos{x} } } \ ;$

$\ln{ | y | } = - \ln{ | \cos{x} | } + C_1 \ ;$

$\ln{ | y | } = \ln{ | \frac{ C }{ \cos{x} } | } \ ;$

$| y | = | \frac{ C }{ \cos{x} } | \ ;$

$y = \frac{ C }{ \cos{x} } \ ;$

Если заменить константу C функцией f(x), то решение примет вид:

$y = \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \ ;$

$y' = \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \ ;$

Подставим эти выражения в исходное:

$\frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \cdot \cos{x} - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ;$

$\frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ;$

$\frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} - f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ;$

$\frac{ f'(x) \cos{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ;$

$f'(x) = 1 \ ;$

$f(x) = x + C \ ;$

Окончательное общее решение:

$y = \frac{ x + C }{ \cos{x} } \ ;$

Наложим на решение начальные словия:   $( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) \ :$

$0 = \frac{ 0 + C }{ \cos{0} } \ ;$

$0 = 0 + C \ ;$

$C = 0 \ ;$

Частное решение:

$y = \frac{x}{ \cos{x} } \ ;$

О т в е т :    $y = \frac{x}{ \cos{x} } \ .$