При каких значениях параметра (а) уравнение имеет два корня: х^4 + ах^2 + а - 1 = 0

Question

Дан 1 ответ

mathpro_zn · Answer 1 · 2018-04-22T06:57:35+0000

Квадратное уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен, и один корень тогда и только тогда, когда он равен нулю.
$x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 \Leftrightarrow [x^2 = t] \\ \Leftrightarrow t^2+at+a-1 = 0.$
Воспользуемся этим знанием. У нашего уравнения два корня тогда и только тогда, когда у нового (после замены) ровно один положительный корень, а второй либо отрицательный, либо совпадает с первым. Давайте теперь это запишем.
Коэффициенты квадратного уравнения:
$A = 1, \ B = a, \ C = a-1. \\ D = B^2-4AC = a^2 - 4(a-1) = a^2 -4a + 4 = (a+2)^2.$
Сразу видим, что он неотрицателен, но нам потребуется ещё и явно выписать корни.
$t_{1,2} = \frac{-B \pm\sqrt{D}}{2A} = \frac{-a \pm|a+2|}{2},$
Так как стоит плюс-минус, то модуль можно просто убрать, неважно, как он раскрывается
$t_{1,2} = \frac{-a \pm (a+2)}{2} = 1, a-1.$
Здесь мы видим, что всегда есть один положительный корень, и нам нужно требовать, чтобы второй был отрицателен:
$a-1 \ \textless \ 0 \Rightarrow a\ \textless \ 1.$
При таких а наше уравнение будет иметь ровно два корня, и мы их даже нашли, что было необязательно.

Ответ: $a\ \textless \ 1$