1) Составляем характеристическое ур-е к однородной части
('y''- 6y'+10=0) данного уравнения^
л² - 6л +10 = 0
D =36 -40 = -4; √D=+-2i
л1 =( 6-2i)/2=3-i; л2=(6+2i)/2 =3+i (cопряжённые комплексные корни)
Общее решение: y=e^(3x) *(C1*соsx+С2*sinx)
Частное решение ищем в виде:
yh = Ae^( - x)
yh' = - Ae^(-x) - первая производная
yh'' = Ae^(-x) - вторая
Подставляем yh и полученные производные в неоднородное уравнение:
Ae^-x +6Ae^-x +10Ae^-x =51e^x
17*A*e^-x = 51e^x
A=3 Частное решение: yh = 3e^-x
Общее решение: у = e^(3x)(C1*cosx +C2*sinx) + 3e^-x
2)
y'' - 2y' = 0
л²-2л =0
л1= 0 л2 =2
у = С1 +С2*e^(2x)
Частное решение ищем: yh = Axe^x+Be^x
( Правая часть исходного уравнения = 4x*e^x + 4e^x )
yh'=Ae^x+Axe^x+Be^x
yh'' = Ae^x+Ae^x+Axe^x +Be^x
Подставляем в исходное ур:
A+A+Ax+B -2A-2Ax-2B = 4xe^x+4e^x
A-2A=4 A=-4
B-2B=4 B =-4
частное решение: -4xe^x -4e^x
Общее решение: С1+С2*e^(2x) -4exe^x - 4e^x
3)y'' =1/(1+x²)
y' =∫1/(1+x²) = arctgx+c (y'(1) =0 ; pi/4 +C1=0;C1=-pi/4);(arctg1=pi/4)
y'= arctgx-pi/4
y= xarctgx-(1/2)*ln(1+x²) -pi/4 *x+C2
0=1*pi/4 - 1/2 ln2 -pi/4 +C2; C2= ln√2
y=xarctgx-1/2*ln(1+x²) -pi/4 *x+ln√2
(Сомневаюсь насчёт №3, может быть модераторы подскажут)