Площадь треугольника АВД
равна сумме площадей треугольников АМД и АВМ и равна 6+3=9.
Высота треугольника АВД равна высоте
трапеции АВСД.
Введём обозначения:
h - высота треугольника АМД,
H - высота треугольника АВД,
a - нижнее основание трапеции,
в - верхнее основание.
Отношение высот определим из их площадей:
(1/2)a*h = 6,
(1/2)a*H = 9.
Отсюда h/Н = 6/9 = 2/3.
Теперь рассмотрим треугольник ВМС. Он подобен треугольнику АМД. Высота его
равна Н - h, а площадь пропорциональна квадрату сходственных сторон.
Произведение a*h = 6*2 = 12,
a*H = 9*2 = 18.
Если принять целочисленные значения этих величин, то такое соотношение возможно
при значениях а = 3, h = 4, Н = 6.
Тогда Н - h = 6 - 4 = 2.
Площадь треугольника ВМС равна:
(1/2)в*(Н - h) = (1/2)в*2 = в.
Отношение площадей треугольников ВМС и АМД равно
(Н – h)²/h² = 2²/ 4² = 4/16 = 1/4.
То есть S(ВМC) = (1/4)*S(АМД),
(1/2)в*(Н - h) = (1/4)*6.
(1/2)в*2 = 6/4,
в
= 6/4 = 3/2.
Перенесём сторону ВС к нижнему основанию
в точку Д.
Получим треугольник АВД₁,
равновеликий по площади трапеции АВСД.
S(АВСД)
= S(АВД₁) =
(1/2)*H*(a+в) = (1/2)*6*(3+(3/2)) = 27/2 = 13,5 кв.ед.