Имея в виду табличные интегралы:выведем ещё один так, как будто мы не знаем,что...

Question

40 просмотров

Имея в виду табличные интегралы:

$1). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ;$

$2). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n \neq -1 \ ;$

выведем ещё один так, как будто мы не знаем,
что производная логарифма – это гипербола:

0 \ \Rightarrow \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \int{ d(e^{\ln{x}})/e^{\ln{x}} } \ ; " alt=" x > 0 \ \Rightarrow \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \int{ d(e^{\ln{x}})/e^{\ln{x}} } \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

$x < 0 \ \Rightarrow \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \int{ d(-e^{\ln{(-x)}})/(-e^{\ln{(-x)}}) } = \\\\ = \int{ -d(e^{\ln{(-x)}})/(-e^{\ln{(-x)}}) } = \int{ d(e^{\ln{(-x)}})/e^{\ln{(-x)}} } \ ;$

и вообще:

$\int{ \frac{dx}{x} } = \int{ d(e^{\ln{|x|}})/e^{\ln{|x|}} } \ ;$

учтём, что:

$d(e^t) = e^t dt \ ; \ \ \Rightarrow \ \ d(e^{\ln{|x|}}) = e^{\ln{|x|}} d( \ln{|x|} ) \ ;$

тогда:

$\int{ \frac{dx}{x} } = \int{ d(e^{\ln{|x|}})/e^\ln{|x|} } = \int{ \frac{ e^{\ln{|x|}}d( \ln{|x|} ) }{ e^{\ln{|x|}} } } = \int{ d( \ln{|x|} ) } = \ln{|x|} + C \ ;$

Итак:

$1). \ \ \ \ \int{dx} = x + C \ ;$

$2). \ \ \ \ \int{x^n} \, dx = \frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C \ ; \ \ \ \ n \neq -1 \ ;$

$3). \ \ \ \ \int{ \frac{dx}{x} } = \ln{|x|} + C \ ;$

Возьмём интеграл:

$\int{ \frac{3dx}{4x-5} } = 3 \int{ \frac{dx}{4x-5} } = \frac{3}{4} \int{ \frac{d(4x)}{4x-5} } = \frac{3}{4} \int{ \frac{d(4x-5)}{4x-5} } = \frac{3}{4} \ln{|4x-5|} + C \ ;$

Проверим:

$( \ \frac{3}{4} \ln{|4x-5|} + C \ )'_x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4x-5} \cdot 4 = \frac{3}{4x-5} \ ;$

З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и проверить его дифференцированием (взять проиводную):

$\int{ \frac{2dx}{3-4x} } \ .$

Математика gartenzie_zn (8.4k баллов) 22 Апр, 18 | 40 просмотров

Дан 1 ответ